МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Фируза Исамитдиновна Мамедова и Александра Ефремовна Подгайц
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Теория чисел — Алгоритм Евклида 2

1.
Найти наибольший общий делитель чисел а) 2n + 13 и n + 7; б) 2100 − 1 и 2120 − 1.
2.
При каких целых n сократимы дроби а) \(\dfrac{n^2+2n+4}{n^2+n+3}\); б) \(\dfrac{n^3-n^2-3n}{n^2-n+3}\); в) \(\dfrac{n^4+1}{n^2+n+1}\); г) \(\dfrac{n^3+n+1}{n^2-n+1}\).
3.
Обозначим через Fn n-ое число Фибоначчи, т.е. F1 = 1, F2 = 1, а для каждого n ≥ 3 число Fn вычисляется по формуле Fn = Fn − 1 + Fn − 2. Докажите, что (Fn , Fn − 1) = 1.
4.
Может ли наибольший общий делитель двух натуральных чисел быть больше их разности?
5.
При каком наименьшем натуральном n каждая из дробей несократима: \(\dfrac{2}{n+3}\), \(\dfrac{3}{n+4}\), ..., \(\dfrac{32}{n+33}\)?
6.
Наибольший общий делитель a и b равен 11. Найдите наибольший общий делитель чисел 85a + 51b и 221a + 136b.
7.
По окружности радиуса R катится колесо радиуса r (R, r — натуральные числа). В колесо вбит гвоздь, который, ударяясь об окружность, оставляет на ней отметки. Сколько всего таких отметок оставит гвоздь? Сколько раз колесо прокатится по окружности, прежде чем гвоздь попадет в уже отмеченную точку?
8.
Если числа a и b взаимно-просты (НОД(a,b) = 1), то для некоторых чисел x и y верно равенство: ax + by = 1. Докажите это утверждение.
9.
Руководство Малого Механико-Математического факультета выпустило в обращение купюры достоинством 65 и 999 мммфников.
a)
Докажите, что этими купюрами можно заплатить любую сумму денег (возможно, со сдачей).
б)
Докажите, что любую сумму большую 1000000 мммфников можно заплатить этими купюрами без сдачи.
10.
В прямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ. Через какое число узлов она проходит? На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?
11.
Существует ли в сутках момент, когда часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы 120 градусов?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS