МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Занимательная геометрия

1.

Что тяжелее: два шара радиусов 3 см и 5 см или один шар радиуса 8 см? Шары сделаны из одного и того же материала.

2.

Представьте себе нашу планету, плотно стянутую кольцом по всему ее экватору. После увеличения длины окружности кольца на 10 метров, между кольцом и поверхностью земли образовался зазор определенной величины. Как Вы считаете, сможет ли человек пройти, или хотя бы протиснуться в этот зазор? (Известно, что экватор имеет длину приблизительно равную 40 000 километров.)

3.

Прямоугольный треугольник вписан в четверть окружности так, как показано на рисунке (см. внутри задачи). DC = CE = 5. Как найти длину гипотенузы AC в прямоугольном треугольнике ADC?

4.

После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

5.

Для приготовления десерта надо взять взять половину стакана сиропа. Как отмерить такой объём с наибольшей точностью, не прибегая к дополнительным измерительным средствам?

6.

Точка X расположена внутри параллелограмма ABCD. Известно, что \(S_{\Delta ABX} + S_{\Delta CDX}=15\). Найдите \(S_{\Delta BCX} + S_{\Delta ADX}\).

7.

Боря гулял по стороне BC треугольника ABC, а Андрей — по стороне AC. В некоторый момент они увидели друг друга, повернули и пошли навстречу друг другу. Где они могли встретиться? (Скорости мальчиков одинаковы.)

8.

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

9.

Волшебник Костя провёл через точку K все возможные прямые, а озорник Серёжа отразил другую точку C относительно каждой прямой, проведённой Костей. Какая фигура оказалась нарисована Серёжей?

10.

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком. Известно, что вершины A и B верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка, а четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки равны между собой. Какая часть нижнего листка по площади больше — закрытая или открытая?