МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-11 классов

Руководители Фируза Исамитдиновна Мамедова и Александра Ефремовна Подгайц
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Комбинаторика 1

1.
а)
В Стране Чудес есть три города \(A\), \(B\) и \(C\). Из города \(A\) в город \(B\) ведет 5 дорог, а из города \(B\) в город \(C\) — 7 дорог. Сколькими способами можно проехать от \(A\) до \(C\) через \(B\)?
б)
В этой стране построили еще один город \(D\) и несколько новых дорог — две из \(A\) в \(D\) и две из \(D\) в \(C\). Сколькими способами можно теперь добраться из города \(A\) в город \(C\)?
2.
В магазине "Все для чая" 5 видов чашек и 7 видов блюдец. Сколько различных пар "чашка \(+\) блюдце" можно собрать?
3.
а)
Сколькими способами можно поставить 5 книг в пятиместную полку?
б)
А \(n\) книг в \(n\)-местную?
4.
Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить из слова КРОТ?
5.
а)
Сколькими способами можно разложить 25 одинаковых носков по 5 ящикам комода?
б)
Тот же вопрос для \(n\) носков и \(k\) ящиков.
6.
а)
Сколько существует различных семизначных телефонных номеров (считается, что номер начинаться с нуля не может)?
б)
А сколько семизначных номеров, в которых все цифры разные?
7.
а)
В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них пять дежурных?
б)
А если в классе \(n\) человек, то сколькими способами можно выбрать \(k\) дежурных?
8.
На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Дополнительный листок

9.
Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить из слова: а) КРОТ; б) КУСОК; в) КОЛОБОК; г) \(\underbrace{AA\ldots A}_{\mbox{a}}\underbrace{BB\ldots B}_{\mbox{b}}\)?
10.
Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита (используется 30 букв) и трех цифр: сначала идет буква, затем три цифры, а затем еще две буквы. Сколько существует различных номеров автомашин?
11.
Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из нее в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?
12.
Сколькими способами можно составить букет из 17 цветков, если в продаже имеются гвоздики, розы, гладиолусы, ирисы, тюльпаны и васильки?
13.
Известно, что в выпуклом \(n\)-угольнике (\(n>3\)) никакие 3 диагонали не проходят через одну точку. Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.
14.
а)
Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 юношей и 7 девушек так, чтобы никакие 2 девушки не сидели рядом?
б)
А если они будут водить хороводы, то сколькими способами их можно расставить так, чтобы никакие 2 девушки не стояли рядом?
15.
Сколько существует 9-значных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания (то есть каждая следующая меньше предыдущей)?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS