МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 7 (6 ноября 2010 года)

«А давайте посчитаем, благородные кроты»

Г. Х. Андерсен, «Дюймовочка»

1.

Расположите в порядке возрастания числа: 222²; 22²²; 2²²². Ответ обоснуйте.

2.

Назовем натуральное число „замечательным”, если оно — самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трехзначных замечательных чисел?

3.

Докажите, что ¹/₂ − ¹/₃ + ¹/₄ − ¹/₅ + ... + ¹/₉₈ − ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > ¹/₅.

4.

За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём продукции снижался на одно и то же число процентов. На какое?

5.

Конфеты «Сладкая математика» продаются по 12 штук в коробке, а конфеты «Геометрия с орехами» — по 15 штук в коробке. Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы тех и других конфет было поровну?

6.

В Таниной квартире имеется 8 розеток, 21 тройник и неограниченный запас утюгов. Какое наибольшее число утюгов Таня может включить в сеть одновременно?

7.

Свежий арбуз весил 10 килограмм и на 99% состоял из воды. На базе арбуз подсох (часть воды испарилась) и в нем стало 98% воды. Сколько он теперь весит?

8.

Тирана поддерживает 1% населения страны. Тиран хочет выиграть многоступенчатые, но демократические выборы. Выборы происходят так. Все избиратели делятся на равные группы. В каждой группе большинством голосов выбирают выборщика. Всевыборщики снова делятся на равные группы, в каждой группе опять выбирают выборщика, и так далее. В конце концов образуется одна группа, которая большинством голосов выбирает президента. Может ли тиран так разбить избирателей на группы и так проинструктировать своих сторонников, чтобы победить на выборах?