МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 21 (26 марта 2011 года)

Взвешивания

1.

Есть 3 монеты, одна из которых фальшивая — легче настоящих. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выявить фальшивую монету? А если монет б) 9, в) 81, г) 30?

2.

Монеты достоинством 1, 2, 3 и 5 тугричков весят, соответственно, 1, 2, 3 и 5 граммиков. Среди четырех монет разного достоинства есть фальшивая, отличающаяся весом от обычной. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

3.

Среди семи монет имеются две фальшивые. Фальшивые монеты легче настоящих, а между собой — одинакового веса. Какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь потребуется, чтобы выявить обе фальшивые монеты?

4.

Имеется 4 камня, различных по весу. Найдите самый тяжелый и самый лёгкий камень за 4 взвешивания на чашечных весах.

5.

Имеется 50 мешков, в каждом по 1000 монет. В 49 мешках монеты настоящие, а в одном — фальшивые. Известно, что настоящая монета весит 10 г, а фальшивая — 9 г. Одним взвешиванием на электронных весах определите, в каком мешке фальшивые монеты. Электронные весы позволяют определить вес произвольного набора монет.

6.

В ряд лежат 1023 апельсина, упорядоченные по весу от самого легкого до самого тяжелого. Сколько нужно сделать взвешиваний, чтобы добавить в ряд 1024-й апельсин так, чтобы апельсины снова оказались упорядоченными? Для взвешивания можно использовать только чашечные весы.

7.

Имеются шесть монет различного веса. Докажите, что нельзя упорядочить их по возрастанию массы, сделав меньше десяти взвешиваний (на чашечных весах).