МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 15 (26 февраля 2011 года)

Делимость-2

1.

Докажите, что произведение любых пяти подряд идущих целых чисел делится на 120.

2.

Пусть число A при делении на N дает остаток a, а число B при делении на N дает остаток b. Найдите остатки от деления на N суммы, разности, произведения и частного чисел А и В.

3.

Какие остатки могут быть у числа, являющегося полным квадратом, при делении на:

a.

5;

b.

10.

4.

Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

5.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 3.

6.

Докажите, что

a.

n³ − n делится на 24 при любом натуральном n;

b.

n³ + 2n делится на 6 при любом натуральном n.

7.

Водяной построил кикимор в колонну по 4, но при этом кикимора Дуся осталась лишней. Тогда водяной построил кикимор в колонну по 5. И снова Дуся осталась лишней. Когда же и в колонне по 6 кикимора Дуся осталась лишней, водяной посулил ей болото вне очереди, после чего в колонне по 7 Дуся нашла себе место и никого лишнего не осталось. Какое наименьшее количество кикимор могло быть у водяного?

8.

При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.

9.

Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза?

10.

Можно ли торт со сторонами 2,3×3,5 см разрезать на прямоугольнички 0,08×0,07 см?