МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 5 (23 октября 2010 года)

Олимпиада

1.

Существует ли такое десятизначное составное число, в записи которого каждая из цифр 0, 1, 2, ..., 9 встречается ровно один раз и которое остается составным после вычеркивания любых восьми его цифр?

2.

Четыре фальшивые монеты и пять настоящих расположены по кругу. Известно, что никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Все настоящие монеты весят одинаково, и все фальшивые — одинаково, но больше, чем настоящие. За два взвешивания на чашечных весах без гирек определите все фальшивые монеты.

3.

С помощью чисел 1, 3, 4 и 6 (каждое использовать 1 раз) и действий сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень нет, операции можно использовать, как угодно, склеивать цифры в числа нельзя) выразить число 24.

4.

Можно ли клетчатую доску 1001×1001 замостить без пропусков и наложений «доминошками» и «крестиками» (см. рисунок) без пропусков и наложений?

5.

В таблице 3×3 сумма чисел в любой строке и любом столбце равна нулю. Известно, что число нулей в таблице чётно. Какое наибольшее число нулей может быть?

6.

Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число 100. Какой игрок имеет выигрышную стратегию?