МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Домашняя олимпиада 1

1.

Сколькими способами можно расставить несколько ладей на шахматной доске, так чтобы они не били друг друга?

2.

Используя сложение, вычитание, умножение и деление (в любых количествах и комбинациях), получите число 21 из чисел 1, 5, 6, 7 (использовав каждое по разу).

3.

Найдите все остатки, которые может давать квадрат целого числа при делении a) на три b) на четыре. Ответ обоснуйте.

4.

В записи *1*2*4*8*16*32*64=27 вместо знаков "*" поставьте знаки "+" или "−" так, чтобы равенство cтало верным.

5.

Один преподаватель оставил на дверях всех кабинетов в школе записки следующего содержания: «Я в кабинете номер …» и исчез в неизвестном направлении. (Разные записки могут содержать разную информацию.) Некоторый школьник начал поиски преподавателя, руководствуясь этими указаниями. Докажите, что с некоторого момента он начнёт двигаться по кругу.

6.

Падая по лестнице с 5-го этажа, Алиса насчитала 100 ступенек. Сколько ступенек она насчитала бы, падая со 2-го этажа?

7.

Несколько друзей одновременно узнали по одной нововости (все новости разные). Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час, при разговоре два человека обмениваются всеми новостями, которые им известны. За какое минимальное время все смогут узнать все новости, если общее число друзей равно 2ⁿ? Найдите длительность этого обмена новостями и приведите схему звонков (кто, кому, когда звонил).

8.

В четырёхугольнике длины всех сторон и диагоналей меньше 1 м. Дожите, что его можно поместить в круг радиуса 0.9 м.

9.

В войске герцога Икторна 1000 гоблинов. Любые два гоблина либо дружат, либо враждуют, либо незнакомы. Гоблины — существа малообщительные, разговаривают только с друзьями. К тому же все они в плохом настроении, поскольку у каждого гоблина любые два его друга враждуют, а любые два врага дружат. Докажите, что для того, чтобы все войско узнало о предстоящем наступлении на Данвин, герцог должен сам сообщить об этом не менее чем 200 гоблинам.

10.

Дожите, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.

11.

a)

Придумать пять различных натуральных чисел, таких, что произведение любых двух из них делится на сумму всех пяти.

b)

Каким будет ответ, если чисел 6? 7? А если чисел n?

12.

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы — квадраты со стороной 1 км), всего 9 кварталов). Какой наименьший путь (найдите длину и форму) должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и заканчивает свой путь в угловой точке A? (Внешние стороны квадрата — тоже улицы).

13.

Есть тринадцать монет, из которых одна фальшивая, причем неизвестно, легче она, или тяжелее, чем настоящие. Требуется за три взвешивания на чашечных весах найти фальшивую монету.