МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 12. Системы счисления

1.

Записать числа от одного до десяти в a) двоичной; b) троичной и c) пятеричной системах счисления.

2.

Записать числа 18, 45, 49, 66 в a) пятеричной; b) шестиричной; c) семиричной и d) пятнадцатеричной системах счисления.

3.

Переписать числа

a)

1011 из двоичной в десятеричную;

b)

121 из троичной в десятеричную;

c)

24 из пятеричной в троичную;

d)

AB из пятнадцатеричной в восьмеричную.

4.

Существуют ли системы счисления, в которых верны следующие равенства? Если да, необходимо назвать их, если нет — обосновать невозможность.

a)

2+3=11;

b)

4 × 4=24;

c)

6 × 6=50;

d)

5 × 5=21.

5.

a)

Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?

b)

Знаменитый путеводитель «Автостопом по галактике» утверждает, что 6 × 9=42. Какая система счисления использовалась в Путеводителе?

6.

Сформулируйте и докажите следующие признаки делимости в системе счисления с основанием N:

a)

на делители числа N (по аналогии с делимостью на два и пять в десятичной системе счисления);

b)

на N−1 (по аналогии с делимостью на девять в десятичной системе счисления);

c)

на делители числа N−1 (по аналогии с делимостью на три в десятичной системе счисления);

d*)

на N+1 (по аналогии с делимостью на одинадцать в десятичной системе счисления);

e**)

на делители числа N+1 (в случае N=10 аналогов нет).

7.

Имеется два бесконечных набора гирек:

a)

1, 2, 4, … 2ⁿ, … — по одной гирьке каждого веса;

b)

1, 3, 9, … 3ⁿ, … — по одной гирьке каждого веса. Можно ли из первого набора составить любое число граммов? А из второго?

8.

Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть

a)

только на одну чашку весов;

b)

на обе чашки весов.

9.

Робинзон нашел десять мешков с золотыми монетами. Ему доподлинно известно, что в одном или нескольких из них все монеты фальшивые и весят они по 9 грамм — на 1 грамм меньше настоящей. Как Робинзону за одно взвешивание на весах со стрелкой узнать, в каких мешках монеты фальшивые?

10.

Отец Капулетти загадывает три двухзначных числа: a, b и c. Ромео должен назвать ему три числа: X, Y и Z, после чего Капулетти сообщит ему сумму aX + bY + cZ. Ромео должен отгадать задуманные числа, только в этом случае Капулетти согласится на брак своей дочери с Ромео. Какие числа следует называть Ромео, если он действительно любит Джульету?