МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 20. Разрезать нельзя раскрасить

0.

С помощью четырех различных раскрасок докажите, что квадрат 10 × 10 нельзя разрезать на прямоугольники 1 × 4.
a)  b) 
c)  d) 

1.

a)

Разрежьте шахматную доску на доминошки размером 1×2.

b)

Разрежьте шахматную доску без левой нижней и левой верхней угловых клеток на доминошки 1×2.

c)

Можно ли разрезать шахматную доску без левой нижней и правой верхней угловых клеток на доминошки 1×2?

2.

Замок имеет форму прямоугольника 5×7 клеток. Каждая клетка кроме центральной — комната. А в центральной — бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, есть дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

3.

Можно ли прямоугольную доску размером 5×9 разрезать на уголки ?

4.

Можно ли доску размером 8×8 с вырезанной правой верхней клеткой разрезать на триминошки ?

5.

Можно ли шахматную доску разрезать на 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?

6.

На доске 8×8 для «морского боя» стоит трёхпалубный корабль (прямоугольник 1×3). Какого наименьшее число выстрелов достаточно, чтобы наверняка ранить его?

7.

Прямоугольное дно коробки было выложено квадратами 2×2 и прямоугольниками 1×4. Один квадрат потеряли и вместо него нашли прямоугольник. Можно ли теперь сложить дно этой коробки?

8.

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 вырезали 99 квадратиков размером 2×2. Докажите, что можно вырезать ещё хотя бы один такой квадратик.

9.

Можно ли раскрасить плоскость в два цвета так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 не были покрашены в один цвет? А в три цвета?

10.

Прямая покрашена в два цвета. Докажите, что существует отрезок, оба конца и середина которого покрашены в один цвет.