МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 7. В чем правда, брат?

0.

Есть три коробки: красная, зеленая и синяя. В каждой лежит шарик (тоже красный, зеленый, синий) так, что цвет ни одной коробки не совпадает с цветом лежащего в ней шарика. Известно, что шарик, лежащий в красной коробке, не синий. Какой шарик лежит в какой коробке?

1.

На одном острове в Тихом океане живут два племени: племя Хитрого Опоссума и племя Честного Муравьеда. Известно, что аборигены из племени Честного Муравьеда всегда говорят правду, а представители племени Хитрого Опоссума, наоборот, всегда врут. Как вы считаете, мог ли кто-то из жителей этого острова сказать такую фразу:
a) «Я всегда лгу.»;
b) «Я всегда говорю правду.»
И если мог, то возможно ли определить, к какому он принадлежал племени?

2.

Вы повстречали двух жителей острова, упомянутого в задаче 1. Один из них сказал Вам:
— Я принадлежу к племени Честного Муравьеда.
Второй на это заметил:
— Ничего подбного, он из племени Хитрого Опоссума!
Что можно сказать о том, к каким племенам они принадлежали?

3.

Каждый из троих встреченных вами островитян утверждает, что среди двух других по крайней мере один принадлежит к племени Хитрого Опоссума. Сколько из них на самом деле принадлежит к этому племени?

4.

Вы повстречали целую шеренгу аборигенов, идущих гуськом по узкой лесной тропинке. Каждый из них (кроме самого последнего) сказал Вам: «Среди идущих за мной есть те, кто принадлежит к племени Честного Муравьеда». Что Вы можете сказать о том, к какому они принадлежали племени, если известно, что первый из них был из племени Честного Муравьеда?

5.

a)

Вам вновь повстречались двое островитян. Какой вопрос нужно задать одному из них, чтобы выяснить, к какому племени принадлежит второй?

b)^*

Вам повстречался островитянин, давший обет молчания. В ответ на Ваши вопросы он лишь кивает или качает головой, но Вы не знаете, какой из этих знаков у него обозначает «да», а какой — «нет». Какой вопрос нужно ему задать, чтобы узнать, из какого он племени?

6.

a)

Вы попали на совет племен острова. Семеро аборигенов сидят вокруг костра, и каждый из них утверждает: «Один из моих соседей — из племени Честного Муравьеда, а другой — из племени Хитрого Опоссума». А сколько из них на самом деле принадлежало к племени Честного Муравьеда?

b)

Какой будет ответ, если островитян вокруг костра всего шесть?

c)^*

А если n (n > 3)?

7.

Про набор из 2006 чисел известно, что сумма любых 10 из них положительна. Обязательно ли тогда и сумма всех их положительна?

8.

По кругу написано не менее трёх различных чисел, каждое из которых равно произведению двух своих соседей. Сколько чисел написано?