|
Занятие 4. Чётность, делимость, остатки
В сегодняшнем задании большинство задач (но не все) используют понятия делимости, деления с остатком, чётности. Напомним
вкратце основные определения.
Говорят, что целое число a делится на целое
число b, не равное нулю, если существует такое целое число c, что a = b · c. В этом случае число a называется кратным числа b, а число b — делителем числа а. Число 0 делится на любое число, любое же целое число, кроме нуля, имеет лишь конечное количество делителей.
Пусть даны целое число a и натуральное число b.
Разделить число a на b с остатком — значит найти такие целые числа q
и r, что 0 ≤ r < b и
a = bq + r. Такая пара чисел всегда существует и единственна. Число q называют
частным, а r — остатком от деления a на b. Остаток от деления числа a
на b равен нулю тогда и только тогда, когда a делится на b.
Числа, дающие при делении на 2 остаток 0, называют чётными, а остаток 1 — нечётными.
Остаток от деления числа на 10 равен последней цифре десятичной записи этого числа.
Решение задачи 5 занятия 3.
а) Ответ: да. На рисунке изображена замкнутая ломаная,
удовлетворяющая условиям. (Незамкнутую ломаную нарисуйте сами.)
б) Ответ: нет. Найдём, чему может равняться количество точек
самопересечения такой ломаной. Так как каждая точка
самопересечения принадлежит двум звеньям, то количество этих точек
должно быть вдвое меньше количества звеньев. Но число 9 нечётное,
поэтому искомое количество не может равняться никакому целому
числу. Значит, такой ломаной не существует.
1. | Докажите, что количество людей, живущих и когда либо живших на Земле, совершивших нечётное количество рукопожатий, чётно.
|
2. | Поле для «пятнашек» представляет собой коробочку размером 4×4, в которой находятся 15 фишек (квадратиков 1×1), пронумерованных числами от 1 до 15; при этом одно поле остаётся пустым. В начале игры пустое поле находилось в правом нижнем углу. Я начал двигать фишки по полю. За один ход я передвигал на пустое поле одну из фишек, находившуюся на соседнем поле. В результате порядок расположения фишек изменился, но пустое поле вновь оказалось в правом нижнем углу. Докажите, что я сделал чётное число ходов.
|
3. | Решите в целых положительных числах уравнения а) x2 - y2 = 1998; б) x2 - y2 = 1999. Примечание. Решить уравнение — значит найти все значения неизвестных (в случае двух неизвестных — все пары), удовлетворяющие уравнению, и доказать, что других нет.
|
4. | В Советском Союзе находились в обращении денежные купюры в 1, 3, 5, 10 и 25, 50 и 100 рублей. Леонид Ильич захотел разменять 25 рублей на купюры достоинством менее 10 рублей так, чтобы всего получилось 10 купюр. Удалось ли ему это сделать?
|
5. | На доске выписаны числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Разрешается одновременно прибавлять единицу к любым двум числам. Можно ли за несколько таких операций добиться, чтобы все числа стали равными?
|
6. | На какую цифру оканчивается число а) 19991999; б) 7777?
|
7. | Целое число возвели в квадрат и разделили на 8. Какой остаток мог получиться?
|
8. | Найдите наименьшее целое положительное число, дающее при делении на 13 остаток 12, при делении на 12 остаток 11,
а при делении на 11 — остаток 10.
|
9. | У Васи имеется шахматная доска, из которой вырезали угловые поля a1 и h8. Есть у Васи и 31 кость домино размера в две клетки шахматной доски каждая. Сможет ли Вася покрыть доминошками всю доску?
|
10. | Докажите, что число 8101 + 8102 + ... + 8107 делится на 7.
|
|