МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Числа от 1 до 100 записали в клетки таблицы 10×10, по одному числу в каждую клетку. В каждой строке выбрали наибольшее число, среди полученных 10 чисел наименьшее обозначили a. Затем в каждом столбце выбрали наименьшее число, среди полученных 10 чисел наибольшее обозначили b. Всегда ли a = b? Может ли быть a > b? Может ли быть b>a?
 

Карусель представляет собой круг, разделённый на 7 равных секторов. Каждый сектор покрашен в свой цвет. Имеются 7 дверей, причём при остановке карусели каждый сектор оказывается напротив одной из дверей. Можно ли раскрасить двери в 7 цветов так, чтобы всегда хотя бы один сектор останавливался напротив двери того же цвета? А если секторов и дверей по 8?
 

Пусть AK - биссектриса угла A треугольника ABC. Докажите равенство AB/AC = KB/KC.
 

а) Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на n² равных треугольников (для любого натурального n).
б) Докажите, что для любых натуральных n и m найдётся треугольник, который можно разрезать на n²+m² равных треугольников.
 

Докажите, что существуют 2000 различных натуральных чисел n₁, n₂, ..., n₂₀₀₀ таких, что
1/n₁+1/n₂+...+1/n₂₀₀₀=1.