МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 10. Геометрические преобразования

Параллельный перенос, поворот вокруг точки, осевая симметрия, гомотетия — это различные примеры преобразований плоскости. Три первые из них — это движения, поскольку они сохраняют расстояния между точками. Гомотетия (с коэффициентом отличным от +1) движением не является. Преобразования плоскости часто помогают при решении геометрических задач.

Приведём решение задачи 8 занятия 9. Отразим угол центрально симметрично относительно данной точки (см.рис.). В полученном параллелограмме диагональ будет искомым отрезком.

1.	На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABB'A' и BCC'B'' (во внешнюю сторону). Докажите, что отрезки B'C и AB'' равны и перпендикулярны.
2.	Где нужно расположить станцию на прямой железной дороге, чтобы суммарное расстояние до двух деревень A и B было минимальным?
3.	Остров имеет форму острого угла. Леснику требуется пройти до каждого из двух берегов и вернуться к себе в хижину. Как он должен идти, чтобы пройти наименьшее расстояние?
4.	Какое минимальное расстояние должна проползти муха по поверхности кубика, чтобы попасть из одного угла в противоположный?
5.	Постройте правильный треугольник, одна вершина которого лежит в данной точке, вторая на данной прямой, а третья на данной окружности.
6.	Для натурального числа a существует число вида 22...22, делящееся на a, а для натурального числа b число вида 33...33, делящееся на b. Докажите, что существует число вида 66...66, делящееся как на a, так и на b.
7.	В кошельке лежат две монеты на сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Какие это монеты?
8.	В каком месте надо построить мост через реку, чтобы путь из одной деревни в другую через мост был самым коротким?
9.	Постройте квадрат, все вершины которого лежат на сторонах данного треугольника.
10.	Двое играют в следующую игру. Они по очереди прибавляют к записанному на доске числу какой-нибудь его делитель, после чего на доску записывают результат, а старое число стирают. Проигрывает тот, кто запишет трёхзначное число. Кто из игроков выигрывает при правильной игре, если вначале на доске написана единица?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!