МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Постройте параллелограмм по высоте, основанию и углу между диагоналями.
 

Постройте треугольник по трём медианам.
 

В квадрате отметили по точке на каждой стороне, а сам квадрат стёрли. Восстановите его.
 

В треугольнике отметили середины сторон, а сам треугольник стёрли. Восстановите его.
 

Через данную точку на стороне треугольника проведите прямую, делящую площадь треугольника пополам.
 

Внутри треугольника ABC найдите такую точку M, что S_AMB : S_BMC : S_CMD = 1 : 2 : 3.
 

а) Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
б) На плоскости нарисованы две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Имея только линейку, найдите середину отрезка. (Замечание. С помощью линейки можно проводить прямую через любые две имеющиеся точки. Никакие другие операции невозможны. «Делений» на линейке нет!)
 

Число a + (1/a) целое. Докажите, что a² + (1/a²) тоже целое.
 

Найдите все натуральные числа n такие, что числа n, n + 2 и n + 4 — простые.