МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

а) Три вектора равной длины образуют между собой углы по 120°. Докажите, что их сумма равна нулю.
б) Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
 

в) Докажите, что если

Точки M₁, M₂, ..., M_n делят окружность с центром в точке O на n равных частей. Докажите, что OM₁ + OM₂ + ... + OM_n = 0.
 

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите:
а) MA+MB+MC=0;
б) для любой точки O плоскости OM=(1/3)(OA+OB+OC).
 

Может ли фигура на плоскости иметь ровно два центра симметрии?
 

Треугольник лежит внутри круга радиуса 1. Может ли радиус окружности, описанной около этого треугольника, быть больше 1?
 

На стороне CD квадрата ABCD со стороной 1 во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник CDE. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника ABE?
 

В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число. При этом оказалось, что каждое число равно среднему арифметическому четырёх соседних чисел. Докажите, что все числа равны между собой.