МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 17.  Десятичные записи чисел

Для того, чтобы записать натуральное число a в десятичной системе счисления, мы его представляем в виде
A=10ⁿ·a_n+10^n-1·a_n-1+...+10·a₁+a₀, где a_n,a_n-1,...,a₀ - цифры от 0 до 9, причем a_n не равно 0. При этом цифра единиц a₀ - это остаток от деления числа a на 10. Рассмотрим примеры задач.

Задача. Между цифрой единиц и цифрой десятков двузначного числа вставили ноль, и оказалось, что полученное число в девять раз больше исходного. Найти исходное число. Решение. Запишем исходное число в виде 10a+b, где a – частное, а b – остаток от деления числа на 10. Теперь заметим, что после того, как мы впишем нуль между цифрой десятков и единиц наше число станет равным 100a+b. Запишем: 9(10a+b)=100a+b, откуда 10a=8b, 5a=4b. Значит, цифра b делится на 5, откуда b=0 или b=5. Поскольку a и b - не нули одновременно, a=4 и b=5. Исходное число – 45.

Задача. Может ли квадрат натурального числа кончаться на 7?

Решение. Пусть число a делится на 10 с остатком r, то есть r - последняя цифра a. Тогда число а² делится на 10 с тем же остатком, что и r² (остатки можно умножать). Перебрав все цифры, убеждаемся, что ни у одной из них квадрат не кончается на 7.

Задача 8 занятия 15. Докажите, что предпоследняя цифра любой степени тройки чётна.

Доказательство будем проводить по индукции.
База: у 3¹ последняя цифра чётна (ноль).
Шаг: пусть 3ⁿ=10a+b, где a - частное, а b - остаток от деления 3ⁿ на 10. Поскольку b нечётно и не делится на 5, то оно может принимать значения 1, 3, 7 или 9. В любом из этих четырёх случаев цифра десятков числа 3b чётна (она равна нулю, если b=1 или 3 и двойке, если b=7 или 9). Чётность предпоследней цифры числа 3ⁿ означает чётность числа a. Тогда 3ⁿ⁺¹=3·3ⁿ=3(10a+b)=30a+3b. У этого числа цифра единиц такая же, а цифра десятков имеет ту же чётность, как и у числа 3b. Значит, цифра десятков чётна.