МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 13 (15 февраля 1997)

Задача 13.1. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон 3 ломтика хлеба, если на сковороде умещаются лишь 2 ломтика, а на поджаривание ломтика с одной стороны уходит минута? (Время на перевёртывание и перекладывание ломтиков можно не учитывать).

Задача 13.2. Дома Винни-Пуха, Пятачка, Иа и Совы лежат в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно строить колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей?

Задача 13.3. Стрелка на часах показывает 1 ч. Юра и Оля по очереди сдвигают её вперёд на 2 или 3 ч. Выигрывает тот, кто поставит стрелку на 12 ч. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 13.4. Два посёлка А и В расположены
а) по разные стороны
б) по одну сторону
от дороги, которая представляет собой прямую линию. Где нужно устроить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от нее до поселков А и В была самой маленькой?

Задача 13.5. На доске написали в строку 25 чисел "-1". Каждым ходом какие-то два соседних числа заменяли на "1", если они имеют один и тот же знак, и на "-1", если они имеют разные знаки. После нескольких таких ходов на доске осталось одно число. Могло ли оно быть 1?

Дополнительные задачи

Задача 13.6. За круглым столом сидят 1995 представителей четырёх племён: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы - рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.

Задача 13.7. В клетках шахматной доски расставлены натуральные числа от 1 до 64, причём каждое число встречается ровно один раз. Докажите, что найдутся две соседние (по стороне) клетки, числа в которых отличаются не менее чем на 5.