МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 5 (2 ноября 1996)

Задача 5.1. Электропоезд длиною 18 м проезжает мимо столба за 9 секунд. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиною 36 м?

Задача 5.2. Петя хочет написать на доске 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать?

Задача 5.3. Дана квадратная таблица 4×4, в каждой клетке которой стоит "+" или "-" (см. рис.). За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?

     а) + - - +    б) + + + -    в) - + + -
        - + + -       + + + +       + + + +
        - + + -       - - + +       + + + +
        + - - +       + + + +       - + + -

Задача 5.4. Есть две кучки камней - по 11 в каждой. За ход можно взять любое число камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его соперник?

Задача 5.5. У человека на голове не более 400000 волос, в Москве более 8000000 жителей. Докажите, что найдутся 20 москвичей с одинаковым числом волос.

Дополнительные задачи

Задача 5.6. Из прямоугольника вырезали меньший прямоугольник и получили фигуру, изображённую на рисунке. Как с помощью карандаша и линейки провести прямую, которая делит площадь этой фигуры на 2 равные части?

Задача 5.7. Летит над лесом стая сороконожек и трёхголовых драконов. У них всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконожки ровно одна голова. Сколько ног у трёхголового дракона?