МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 12 (8 февраля 1997)

Задача 12.1. Дома Пятачка, Иа и Винни-Пуха расположены в вершинах треугольника и соединены друг с другом прямыми дорогами. Делая утреннюю зарядку, Пятачок пробежал от своего дома к дому Иа, затем - к дому Винни-Пуха, после чего вернулся домой. В это время Винни-Пух в задумчивости прошёл от своего дома к дому Иа и вернулся обратно. Чей путь был длиннее?

Задача 12.2. На уроке Петя написал на доске равенство:
35+10-45=42+12-54.
Он заметил, что все числа в левой части делятся на 5, а в правой - на 6. Тогда он вынес в левой части 5 за скобки, а в правой - 6 и получил:
5×(7+2-9)=6×(7+2-9).
Сократив обе части равенства на общий множитель (заключённый в скобки) Петя получил, что 5=6. Где он ошибся?

Задача 12.3. В селе A живут 100 школьников, а в селе B - 200. Где нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было бы как можно меньше?

Задача 12.4. В ряд выписаны 105 единиц. Перед каждой единицей (кроме первой) стоит знак "+". Сначала перед каждой третьей единицей знак "+" заменяют на "-", а затем заменяют знак на противоположный перед каждой пятой единицей. Найдите значение полученного выражения.

Задача 12.5. Самолет летит из Уфы в Ялту и возвращается обратно в Уфу. В какую погоду он проделает весь путь быстрее: в безветренную, или при одном и том же ветре, дующем в направлении Ялта-Уфа ?

Дополнительные задачи

Задача 12.6. Можно ли покрыть всю плоскость квадратами, среди которых всего два одинаковых? (Квадраты должны не перекрываться).

Задача 12.7. Из листа картона вырезали несколько правильных треугольников. В вершинах каждого написаны цифры 1, 2 и 3. Затем их сложили в стопку.
а) Могло ли оказаться так, что сумма чисел вдоль каждого ребра стопки равна 55?
б) А может ли сумма вдоль каждого ребра стопки равняться 50?