МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 10 (7 декабря 1996)

Задача 10.1. По углам квадратного поля стоят 4 столба. Как расширить его, не убирая столбов, чтобы площадь увеличилась в 2 раза, а форма осталась квадратной?

Задача 10.2. Проверьте справедливость равенств в числовой пирамиде, изображенной на рисунке, и попробуйте доказать утверждение:
1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+..+2+1=n².
(Подсказка нарисована рядом с пирамидой).

Задача 10.3. Подсчитайте, сколькими способами можно поставить на обычную шахматную доску одну чёрную и одну белую ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Задача 10.4.
а) Удастся ли, используя только три выключателя, подключить к сети люстру с семью лампочками, чтобы можно было зажигать любое число лампочек от одной до семи (сначала все они погашены)?
б) А если в люстре 8 лампочек?

Задача 10.5. Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить, переставляя буквы в слове
а) ТОЧКА ;
б) ЛИНИЯ ;
в) ПОТОП ;
г) МАТЕМАТИКА ?

Дополнительные задачи

Задача 10.6. Иван Юрьевич жил в однокомнатной квартире. Комната была квадратной и длины её сторон выражались целым числом метров. Недавно он обменял её на двухкомнатную квартиру той же площади. Одна из комнат имеет площадь 7 м², адругая - вновь квадратная, и длина её стороны - целое число метров. Какая площадь этой квартиры?

Задача 10.7. Докажите, что углы, которые изображены на рисунке справа, равны.