МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 11 (17 декабря 2076 года)

1.

Яблоко называется большим сладким, если при сравнении с каждым из остальных яблок на яблоне оно или больше, или слаще (или и то, и другое). Аналогично определяется маленькое кислое яблоко. Так случилось, что на яблоне все яблоки — большие сладкие. Докажите, что все яблоки на этой яблоне маленькие кислые.

2.

В парке росли липы и клёны. Клёнов среди них было 60%. Весной в парке посадили липы, после чего клёнов стало 20%. А осенью посадили клёны, и клёнов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?

3.

Вася отметил на плоскости точку невидимыми чернилами и начертил квадрат обычными чернилами. Петя видит квадрат, но не видит точку. Он может начертить на плоскости прямую и узнать у Васи, по какую сторону от прямой находится точка. Какое наименьшее число вопросов ему потребуется, чтобы узнать, находится точка внутри квадрата или вне его?

4.

Может ли периметр треугольника быть в 2 раза больше одной из его сторон и в 3 раза больше другой?

5.

Пятеро ребят заметили, что любые двое из них вместе поймали не более 9 рыб. Каким, самое большее, может быть общий улов всех пятерых?

6.

На шахматной доске стоят 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что число ладей, стоящих на чёрных полях, чётно.

Дополнительные задачи

7.

Разбейте квадрат 6×6 на доминошки 2×1 и проведите в каждой из них одну из диагоналей так, чтобы ни у каких двух из этих диагоналей концы не совпадали.

8.

Поставьте вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.

9.

Можно ли раскрасить рёбра куба в чёрный и белый цвета так, чтобы из любой вершины можно было перейти в любую другую, двигаясь только по чёрным рёбрам, а также двигаясь только по белым рёбрам?