МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 2 (8 октября 2016 года)

1.

Иван Иванович купил собаку. Саша думает, что эта собака — чёрный пудель, Паша считает её белой болонкой, а Маша — белым бультерьером. Известно, что каждый из ребят верно угадал либо породу, либо цвет шерсти собаки (что-то одно). Назовите породу собаки и цвет её шерсти.

2.

Длины всех сторон треугольника — различные целые числа. Каким, самое меньшее, может быть периметр такого треугольника?

3.

Какое наибольшее число ладей можно поставить на изображённую на рисунке доску так, чтобы никакие две из них не били друг друга?

4.

У магистра Йоды обучается 29 падаванов. Из них 15 уже умеют отбивать лазерные лучи световым мечом, а 21 — передвигать предметы с помощью Силы. Сколько падаванов умеют делать и то, и другое, если известно, что среди учеников Йоды только Энакин Скайуокер ещё не научился ни тому, ни другому?

5.

Маша и Паша, поссорившись, пошли в противоположные стороны с равными скоростями. Через три минуты Паша решил помириться и, стал догонять Машу, увеличив скорость в три раза. Через какое время он догонит Машу с того момента, как решил помириться?

6.

На рисунке изображена «капелька» из двух полуокружностей радиуса 1 и одной радиуса 2. Разрежьте эту фигуру на две равные (и по площади, и по форме) части.

7.

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из чисел делится на 5.

Дополнительные задачи

8.

Разрежьте произвольный остроугольный треугольник на 3 трапеции.

9.

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

10.

Дима увидел в музее странные часы: на их циферблате нет цифр и вообще непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имеют одинаковую длину. Какое время показывали часы? (Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.)