МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 3 (15 октября 2016 года)

1.

В классе учатся 26 человек. Докажите, что среди них найдутся трое, родившихся в один месяц.

2.

10 школьников на олимпиаде решили в сумме 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

3.

Найдите значение дроби \(\,\dfrac{\mbox{К}\cdot\mbox{А}\cdot\mbox{Р}\cdot\mbox{Л}\cdot\mbox{С}\cdot\mbox{О}\cdot\mbox{Н}} {\mbox{В}\cdot\mbox{А}\cdot\mbox{Р}\cdot\mbox{Е}\cdot\mbox{Н}\cdot\mbox{Ь}\cdot\mbox{Е}}\), если разные буквы заменяют разные цифры.

4.

Имеется 101 пуговица одного из 11 цветов. Докажите, что либо среди этих пуговиц найдутся 11 пуговиц одного цвета, либо 11 пуговиц разных цветов.

5.

Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и −1 так, чтобы все суммы чисел по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны?

6.

Докажите, что из любых а) семи; б) пяти натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три.

7.

В кинотеатре 7 рядов по 10 мест в каждом. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний. Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.

Дополнительные задачи

8.

Можно ли разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?

9.

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 метра. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 метра. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

10.

На шахматной доске стоят 44 ферзя. Докажите, что каждый из них бьёт какого-нибудь другого ферзя.