МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 10 (28 ноября 2015 года). Узлы

1.

На человека со связанными руками надет свитер, вывернутый наизнанку. Сможет ли он надеть его правильно, не разрывая его и не развязывая рук?

Ответ Решение

Ответ. Да, сможет.

Решение. Для начала представьте, что от свитера остался только один рукав.

2.

На рисунках 1-4 изображены три узла, на рисунках а-г нарисованы те же узлы, но затянутые и в другом порядке. Соотнесите узлы рисунках 1-4 и узлы на рисунках а-г.

Ответ

Ответ. 1-в, 2-а, 3-г, 4-б.

3.

Если связать буквы русского алфавита из верёвочек, то некоторые из них можно будет превращать в другие, перемещая узелки и растягивая верёвочки. Например, вот так можно превратить букву Ч в букву Е:

Разбейте все буквы на как можно меньшее число групп так, чтобы любые две буквы из одной группы можно было превратить друг друга.

Ответ

Ответ. { Г З И Л М П С }, { Е Т У Ч Ц Ш Э }, { Б Р Ъ Ь }, { Х }, { А Д Я }, { Ж }, { Щ К Н }, { О }, { Ф }, { В }, { Ю }, { Ы }, { Й }, { Ё }. (Ответ, вообще говоря, слегка зависит от шрифта, которым напечатаны буквы.)

4.

На столе лежит верёвка. Можно ли, взяв один конец верёвки в левую руку, а другой конец --- в правую, завязать на ней простой узел () не выпуская концы из рук?

Решение

Решение. Нужно предварительно сложить руки крест-накрест (как бы завязать узлом руки), а потом взять концы верёвки. Узел с рук перенесётся на верёвку.

5.

На рисунке 1 изображен тривиальный узел (то есть не узел вовсе, а просто кольцо из верёвки). На рисунке 2 — узел, который называется «трилистник». А на рисунке 3 — узел «восьмёрка». Эти три узла разные: один нельзя превратить в другой. Для каждого из узлов, изображённых на остальных рисунках, определите, можно ли его превратить в какой-нибудь из этих трёх узлов.

Ответ

Ответ. а) 2; б) 2; в) 2; г) 1; д) 3; е) 2; ж) 3; з) 2; и) 2; к) 3; л) 1; м) 1; н) 2; о) 3; п) 1; р) 1.

6.

Двух узников связали друг с другом, как это показано на рисунке. Смогут ли они расцепиться, не развязывая и не разрывая верёвку?

Решение

Решение. Возьмём верёвку одного из узников, протянем её изнутри сквозь петлю на одной из рук второго узника, обведём вокруг руки и вытащим с другой стороны руки.

Дополнительные задачи

6.

Соедините три верёвочных кольца так, чтобы при развязывании любого из трёх два оставшихся расцеплялись.

Ответ

Ответ.

7.

а)

Имеется картина, к которой двумя концами привязана длинная веревка. Требуется повесить её на два вбитых в стену гвоздя так, чтобы при вытаскивании из стены любого гвоздя картина и веревка падали.

б)

А если гвоздей не два, а три?

Решение

Решение. Проведём из всех гвоздей лучи вверх. Назовём гвозди буквами. Положение верёвки закодируем словом, которое строится так: если верёвка пересекла луч по часовой стрелке, добавляем букву гвоздя, если верёвка пересекла луч против часовой стрелки, то букву гвоздя в минус первой степени. Для пункта а решение — aba ^{− 1}b ^{− 1}, для пункта б — caba ^{− 1}b ^{− 1}c ^{− 1}bab ^{− 1}a ^{− 1}.

8.

В клетке сидят 2 змеи одинаковой толщины, одна — длинная, другая — короткая. Придумайте такой подземный лаз из клетки, чтобы

а)

короткая змея могла через него выбраться, а длинная — нет;

Ответ

Ответ. Туннель с самопересечением, например, в форме буквы альфа.

б)

длинная змея могла через него выбраться, а короткая — нет.

Ответ

Ответ. В виде буквы V, чтобы длина второй части была больше длины короткой змеи.