МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2015/2016 учебный год

Группа ББ (cтарший преподаватель К. Н. Бондаренко)

Занятие 4 (17 октября 2015 года). Проценты

1.: Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1%, другое на 5%. Могла ли их сумма увеличиться на 3%?
Решение

Решение. Пусть первое число равно 100x, а второе 100y: 101x + 105y = 103(x + y), откуда следует, что y=x. При x=1 получим числа 100 и 100, которые будут удовлетворять условию задачи. (Собственно, подходят любые 2 равных положительных числа.)
2.: Из полного сосуда с растворителем вместимостью 20 л, отлили часть вещества, а потом дополнили сосуд водой. В результате в сосуде оказался 60%-ный раствор. Сколько растворителя вылили из сосуда?
Ответ

Ответ. 8 л.
3.: Цены на плюшевых мишек в октябре выросли на 50%, а перед Новым годом на них объявили 50% скидку. Когда мишка стоил дороже — 1 сентября или 31 декабря?
Решение

Решение. Пусть 1 сентября мишка стоил x, в октябре стоимость мишки увеличилась на 50%, и стала x + 0,5х = 1,5x. Перед Новым годом цена на мишек уменьшилась на 50% и стала 1,5x − 0,5 · 1,5x = 1,5x − 0,75x = 0,75x, что составляет 75% от цены сентября, т. е. 1 сентября мишка стоил дороже.
4.: В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько (в процентах) девочек в секции?
Решение

Решение. Пусть мальчиков — x, тогда девочек — 0,6x, а всего детей в секции x + 0,6x = 1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6x составляет число 0,6x : 0,6x⁄1,6x · 100% = 37,5%.
5.: Предприятие получило задание за два года снизить на 51% объем выпускаемой продукции. Каждый год требуют снижать на одно и то же число процентов. На сколько?
Решение

Решение. На 30%, т. к. через два года объем продукции должен составить 0,49 от первоначального. Значит, если каждый год выпускать 0,7 от предыдущего, получим то, что нужно.
6.: Кирилл, Ваня и Катя решали уравнения с параметром. Кирилл решил на 10% больше уравнений, чем Ваня, а Катя решила на 20% больше, чем Кирилл. Во сколько раз Катя решила больше уравнений, чем Ваня?
Решение

Решение. Пусть Ваня решил x уравнений, тогда Кирилл решил 1,1x уравнений и Катя решила 1,2 · 1,1x = 1,32x уравнений. Таким образом, Катя решила в 1,32 больше уравнений, чем Ваня.
7.: Хомяк сидит на диете. Каждый день он съедает 20% имеющихся к этому дню защёчных запасов. Изначально за обеими щеками у него спрятано поровну запасов. Через сколько дней все запасы поместятся за одну щёку?
Решение

Решение. Пусть изначально у хомяка всего х запасов, за одну щеку помещается 0,5x запасов. Выясним, когда количество защёчных запасов хомяка окажется меньше 0,5x (или равно 0,5x). После первого дня у хомяка останется 0,8x запасов, что больше 0,5x. После второго 0,8 · 0,8x = 0,64x запасов, что тоже больше 0,5x. После третьего дня, количество запасов у хомяка станет 0,8 · 0,64x = 0,512x, т.е. по-прежнему больше 0,5x. После четвертого дня количество запасов станет 0,8 · 0,512x = 0,4096x < 0,5x, значит, после четвертого дня хомяк сможет поместить остатки своих защечных запасов за одну щеку.
8.: Семиклассники решили пойти в поход. Первоначально девочек было 25% от числа всех участников. Но одна девочка не пришла, а вместо неё пришёл один мальчик, и тогда уже число девочек составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в походе?
Решение

Решение. Пусть изначально девочек было x человек, значит, всего в поход собиралось 4x человек. Но на самом деле в поход пошла x − 1 девочка, а всего было 5·(x − 1) человек. А т. к. общее количество участников похода не изменилось, значит, 4x = 5·(x − 1). Отсюда x = 5.
В походе же участвовало x − 1 = 4 девочки, а всего участников было 5·(x − 1) = 20 человек. Следовательно, мальчиков было 20 − 4 = 16 человек.
9.: Некая фирма решила вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% составляют сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить фирма?
Решение

Решение. Другие деревья, например, ели и березки, составляют 1% всех деревьев, а после рубки сосен будут составлять 2%, что означает вырубку половины всего леса!
10.: Торговец продал книгу со скидкой 5% от назначенной цены и получил 14% прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец?
Решение

Решение. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., следовательно он продал её за (1 − 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100% + 14% = 114% цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95a : 1,14 = ⁵/₆ a р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах): (a : ⁵/₆ a)·100% = 120%. Торговец планировал получить 120% − 100% = 20% дохода.

Дополнительные задачи

11.: За первый год население некоторой деревни возросло на n человек, а за второй — на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй — на n%. Сколько жителей стало в деревне?
Решение

Решение. Пусть изначально жителей в деревне было x, тогда за год число жителей в деревне стало x + n, а после второго x + n + 300 человек. За первый год число жителей увеличилось на 300%, т. е. n = 3x. Также известно, что за второй год число жителей увеличилось на n%, т. е. на (x + n) · n ⁄ 100. Поскольку население увеличилось на 300 человек, то (x + n) · n ⁄ 100 = 300; зная, что n = 3x, получим: 10000 = 4x², значит x = 50. После второго года число жителей в деревне стало x + n + 300 = 4x + 300 = 200 + 300 = 500.
12.: В трёх классах выполнялась контрольная работа. Оценки «5», «4», «3», «2» получили соответственно 28%, 35%, 25%, 12% учащихся. Сколько учащихся писали контрольную работу?
Решение

Решение. Пусть работу писали x учеников. Тогда пятерки получили ⁷/₂₅ · x ребят, четверки — ⁷/₂₀ · x, тройки — ¹/₄ · x, двойки — ³/₂₅ · x. Чтобы все эти числа были целыми, необходимо, чтобы число x делилось на 25, 20 и 4. Это условие выполняется, когда x делится на 100, т. е. x = 100k, где k — натуральное число. А в трёх классах редко больше 100 учеников.


	МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА НАША КОМАНДА О КРУЖКАХ РАСПИСАНИЕ ВОПРОС-ОТВЕТ ЛЕКЦИИ МАТЕРИАЛЫ ЗАНЯТИЙ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс Перечневые олимпиады 2-3 уровень АРХИВ МАЛЫЙ МЕХМАТ — ШКОЛЕ ЛИТЕРАТУРА ССЫЛКИ	Кружок 7 класса Руководитель Степан Львович Кузнецов 2015/2016 учебный год Группа ББ (cтарший преподаватель К. Н. Бондаренко) Занятие 4 (17 октября 2015 года). Проценты 1. Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1%, другое на 5%. Могла ли их сумма увеличиться на 3%? Решение Решение. Пусть первое число равно 100`x`, а второе 100`y`: 101`x` + 105`y` = 103(`x` + `y`), откуда следует, что `y`=`x`. При `x`=1 получим числа 100 и 100, которые будут удовлетворять условию задачи. (Собственно, подходят любые 2 равных положительных числа.) 2. Из полного сосуда с растворителем вместимостью 20 л, отлили часть вещества, а потом дополнили сосуд водой. В результате в сосуде оказался 60%-ный раствор. Сколько растворителя вылили из сосуда? Ответ Ответ. 8 л. 3. Цены на плюшевых мишек в октябре выросли на 50%, а перед Новым годом на них объявили 50% скидку. Когда мишка стоил дороже — 1 сентября или 31 декабря? Решение Решение. Пусть 1 сентября мишка стоил `x`, в октябре стоимость мишки увеличилась на 50%, и стала `x` + 0,5х = 1,5`x`. Перед Новым годом цена на мишек уменьшилась на 50% и стала 1,5`x` − 0,5 · 1,5`x` = 1,5`x` − 0,75`x` = 0,75`x`, что составляет 75% от цены сентября, т. е. 1 сентября мишка стоил дороже. 4. В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько (в процентах) девочек в секции? Решение Решение. Пусть мальчиков — `x`, тогда девочек — 0,6`x`, а всего детей в секции `x` + 0,6`x` = 1,6`x`. Определим, сколько процентов от 1,6`x` составляет число 0,6`x` : 0,6`x`⁄1,6`x` · 100% = 37,5%. 5. Предприятие получило задание за два года снизить на 51% объем выпускаемой продукции. Каждый год требуют снижать на одно и то же число процентов. На сколько? Решение Решение. На 30%, т. к. через два года объем продукции должен составить 0,49 от первоначального. Значит, если каждый год выпускать 0,7 от предыдущего, получим то, что нужно. 6. Кирилл, Ваня и Катя решали уравнения с параметром. Кирилл решил на 10% больше уравнений, чем Ваня, а Катя решила на 20% больше, чем Кирилл. Во сколько раз Катя решила больше уравнений, чем Ваня? Решение Решение. Пусть Ваня решил `x` уравнений, тогда Кирилл решил 1,1`x` уравнений и Катя решила 1,2 · 1,1`x` = 1,32`x` уравнений. Таким образом, Катя решила в 1,32 больше уравнений, чем Ваня. 7. Хомяк сидит на диете. Каждый день он съедает 20% имеющихся к этому дню защёчных запасов. Изначально за обеими щеками у него спрятано поровну запасов. Через сколько дней все запасы поместятся за одну щёку? Решение Решение. Пусть изначально у хомяка всего х запасов, за одну щеку помещается 0,5`x` запасов. Выясним, когда количество защёчных запасов хомяка окажется меньше 0,5`x` (или равно 0,5`x`). После первого дня у хомяка останется 0,8`x` запасов, что больше 0,5`x`. После второго 0,8 · 0,8`x` = 0,64`x` запасов, что тоже больше 0,5`x`. После третьего дня, количество запасов у хомяка станет 0,8 · 0,64`x` = 0,512`x`, т.е. по-прежнему больше 0,5`x`. После четвертого дня количество запасов станет 0,8 · 0,512`x` = 0,4096`x` < 0,5`x`, значит, после четвертого дня хомяк сможет поместить остатки своих защечных запасов за одну щеку. 8. Семиклассники решили пойти в поход. Первоначально девочек было 25% от числа всех участников. Но одна девочка не пришла, а вместо неё пришёл один мальчик, и тогда уже число девочек составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в походе? Решение Решение. Пусть изначально девочек было `x` человек, значит, всего в поход собиралось 4`x` человек. Но на самом деле в поход пошла `x` − 1 девочка, а всего было 5·(`x` − 1) человек. А т. к. общее количество участников похода не изменилось, значит, 4`x` = 5·(`x` − 1). Отсюда `x` = 5. В походе же участвовало `x` − 1 = 4 девочки, а всего участников было 5·(`x` − 1) = 20 человек. Следовательно, мальчиков было 20 − 4 = 16 человек. 9. Некая фирма решила вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% составляют сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить фирма? Решение Решение. Другие деревья, например, ели и березки, составляют 1% всех деревьев, а после рубки сосен будут составлять 2%, что означает вырубку половины всего леса! 10. Торговец продал книгу со скидкой 5% от назначенной цены и получил 14% прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец? Решение Решение. Пусть торговец планировал продать книгу за `a` р., следовательно он продал её за (1 − 0,05)`a` = 0,95`a` р. Эта сумма составила 100% + 14% = 114% цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95`a` : 1,14 = ⁵/₆ `a` р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах): (`a` : ⁵/₆ `a`)·100% = 120%. Торговец планировал получить 120% − 100% = 20% дохода. Дополнительные задачи 11. За первый год население некоторой деревни возросло на `n` человек, а за второй — на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй — на `n`%. Сколько жителей стало в деревне? Решение Решение. Пусть изначально жителей в деревне было `x`, тогда за год число жителей в деревне стало `x` + `n`, а после второго `x` + `n` + 300 человек. За первый год число жителей увеличилось на 300%, т. е. `n` = 3`x`. Также известно, что за второй год число жителей увеличилось на `n`%, т. е. на (`x` + `n`) · `n` ⁄ 100. Поскольку население увеличилось на 300 человек, то (`x` + `n`) · `n` ⁄ 100 = 300; зная, что `n` = 3`x`, получим: 10000 = 4`x`², значит `x` = 50. После второго года число жителей в деревне стало `x` + `n` + 300 = 4`x` + 300 = 200 + 300 = 500. 12. В трёх классах выполнялась контрольная работа. Оценки «5», «4», «3», «2» получили соответственно 28%, 35%, 25%, 12% учащихся. Сколько учащихся писали контрольную работу? Решение Решение. Пусть работу писали `x` учеников. Тогда пятерки получили ⁷/₂₅ · `x` ребят, четверки — ⁷/₂₀ · `x`, тройки — ¹/₄ · `x`, двойки — ³/₂₅ · `x`. Чтобы все эти числа были целыми, необходимо, чтобы число `x` делилось на 25, 20 и 4. Это условие выполняется, когда `x` делится на 100, т. е. `x` = 100`k`, где `k` — натуральное число. А в трёх классах редко больше 100 учеников.	ЗАДАЧИ 7 класс Занятие 1 Занятие 2 Занятие 3 Занятие 4 Занятие 5 Занятие 6 Занятие 7 Занятие 8 Занятие 9 Занятие 10 Занятие 11 Занятие 12 Занятие 13