МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6 (31 октября 2015 года). Подсчёт двумя способами

1.

На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трёх кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно три посетителя. Докажите, что посетителей было ровно столько же, сколько кошек.

Решение

Решение. Если мы мысленно натянем ниточки между каждой кошкой и погладившим её посетителем, тогда от каждой кошки будут протянуты 3 ниточки и от каждого посетителя тоже 3. Значит, число ниток одновременно в 3 раза больше числа посетителей и в 3 раза больше числа кошек. Отсюда следует, что число кошек равно числу посетителей.

2.

В 7 классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. Ещё известно, что в классе 19 парт, а вчера 31 семиклассник побывал в Палеонтологическом музее. Сколько человек в этом классе?

Ответ

Ответ. 35.

3.

Можно ли в клетки квадрата 10×10 поставить некоторое количество звёздочек так, чтобы в каждом квадрате 2×2 было ровно две звёздочки, а в каждом прямоугольнике 3×1 — ровно одна звёздочка?

Решение Ответ

Решение. Пусть так расставить звёздочки удалось. Квадрат 10×10 можно разбить на 25 непересекающихся квадратов 2×2. Так как в каждом из них — по две звёздочки, то всего звёздочек 50. С другой стороны, 99 клеток исходного квадрата можно разбить на 33 непересекающихся прямоугольника 3×1. В каждом из них — по одной звёздочке, поэтому всего в квадрате — не больше 34 звёздочек. Противоречие.

Ответ. Нельзя.

4.

Аркаша вырезал много одинаковых квадратов и в вершинах каждого из них в произвольном порядке написал числа 1, 2, 3 и 4. Затем Степан сложил квадраты в стопку и написал сумму чисел, попавших в каждый из четырех углов стопки. Может ли оказаться так, что в каждом углу стопки сумма равна

а)

2015?

Решение

Решение. Может, если взять 403 пары квадратов с расположением чисел (1, 2, 3, 4) и (4, 3, 2, 1).

б)

2016?

Решение

Решение. Не может, так как 2016·4 = 8064 не делится на 10 = 1 + 2 + 3 + 4.

5.

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

Решение Ответ

Решение. Предположим, что такая таблица существует, и подсчитаем, чему равняется сумма всех ее чисел. С одной стороны, таблица содержит 5 строк, сумма чисел в каждой из которых — 30, значит, искомая сумма равна 150. С другой стороны, в таблице 10 столбцов, сумма чисел в каждом из которых — 10. Отсюда общая сумма равна 100. Противоречие.

Ответ. Нельзя.

6.

а)

Можно ли занумеровать рёбра куба числами −6, −5, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

Ответ

Ответ. Да, можно.

б)

А можно ли так же занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12?

Решение Ответ

Решение. Докажем, что такая нумерация невозможна, методом «от противного». Предположим, что это возможно, и сумма номеров рёбер, сходящихся в каждой из восьми вершин, равна x. Сложив эти суммы для всех вершин, получим 8x. С другой стороны, мы должны таким образом получить удвоенную сумму номеров всех рёбер, так как номер каждого ребра входит в эту сумму дважды — с каждой из вершин, которые это ребро соединяет. Вычислим эту сумму: 2·(1 + 2 + ... + 12) = 156. Отсюда следует: 8x = 156, значит x не может быть целым числом. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Ответ. Нельзя.

7.

Представьте число 2015 как разность двух палиндромов. (Палиндромы — это числа, не меняющиеся при прочтении справа налево, например, 0, 717, 2002.)

Ответ

Ответ. Например, 2015 = 2772 − 757.

Дополнительные задачи

8.

В банановой республике прошли выборы в парламент, в котором участвовали все жители. Все голосовавшие за партию «Мандарин» любят мандарины. Среди голосовавших за другие партии 90% не любят мандарины. Сколько процентов голосов набрала партия «Мандарин» на выборах, если ровно 46% жителей любят мандарины?

Решение Ответ

Решение. Пусть всё население республики — N человек, из них за «Мандарин» проголосовало M человек. Тогда, с одной стороны, мандарины любят 0,46N человек, а с другой, это число равно числу проголосовавших за «Мандарин» плюс 10% от оставшихся, то есть 0,1(N − M). Отсюда: M + 0,1(N − M) = 0,46N, или 0,9M = 0,36N. Итак, M⁄N = 0,36 : 0,9 = 0,4, т.е. 40%.

Ответ. 40%.

9.

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

Ответ

Ответ. 20.

10.

Туристическая фирма провела акцию: «Купи путёвку в Египет, приведи четырёх друзей, которые также купят путёвку, и получи стоимость путёвки обратно». За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну Пирамид бесплатно?

Ответ

Ответ. 29.