МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 7 (8 ноября 2014 года). Инвариант.

1.

В памяти робота записано число 2014. За одну операцию робот может прибавить к имеющемуся числу 10, поменять цифры в разряде десятков и сотен местами, а также умножить имеющееся число на 11. Может ли робот за несколько ходов добиться того, чтобы в его памяти оказалось записано число 20144102?

2.

Шахматная фигура «верблюд» за ход может сместиться на три клетки в одном направлении, а затем на одну клетку в поперечном направлении. (За исключением длины смещений ход верблюда аналогичен ходу коня.) Может ли верблюд за несколько ходов добраться с клетки a1 на клетку a8?

3.

На доске записано число 2013²⁰¹⁴. У него вычислили сумму цифр. Затем у результата вычислили сумму цифр. Так повторяли до тех пор, пока не осталось однозначное число. Какое?

4.

На доске написали число 1. После этого к записанному числу каждую минуту прибавляют его сумму цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456789?

5.

На столе лежит кучка из 1001 камня. Ход состоит в том, чтобы из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?

6.

Утром в луже плавало 19 синих и 95 красных амеб. Иногда амебы сливаются. Если сливаются две красные амебы, то получается одна синяя. Если сливаются две синие амебы, то получившаяся амеба мгновенно делится, и образуется 4 красные амебы. Наконец, если синяя амеба сливается с красной, то это приводит к появлению трех красных амеб. Вечером в луже оказалось 100 амеб. Сколько среди них красных?

7.

В Дремучем Лесу стоят Замок Горностаев и Замок Ласок. В Замке Горностаев денежными единицами являются фунтики, а в Замке Ласок — фантики. Горностаи готовы обменять один фунтик на десять фантиков, а ласки — один фантик на десять фунтиков. Предприимчивый путешественник мотается туда и обратно с целью безграничного обогащения. Изначально у него был только один фунтик. Докажите, что у него никогда не станет поровну фантиков и фунтиков.

8.

На острове живут 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Когда два разноцветных хамелеона встречаются, они мгновенно оба перекрашиваются в третий цвет. (Например, серый и бурый хамелеоны при встрече становятся малиновыми.) Могут ли все хамелеоны через некоторое время стать одноцветными?

9.

На доске записаны числа 1, 2, 3,…, 20. За ход разрешается любые два числа a и b заменить числом ab + a + b. Какое число может остаться на доске после 19 ходов?

10.

На столе лежит в ряд n разноцветных камней. За ход разрешается поменять местами любые два из них. Докажите, что не может оказаться так, что через 2015 ходов камни будут лежать в том же порядке, что и сначала.

11.

При каких n доску 4 × n можно обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться в исходную клетку?

12.

Три кузнечика сидят на плоскости в точках с координатами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Они начинают играть в чехарду. За один прыжок кузнечик может прыгнуть в направлении другого кузнечика, перескочить через него и приземлиться с противоположной стороны на том же расстоянии, на котором он находился от этого кузнечика до прыжка. Могут ли они за несколько прыжков попасть в точки с координатами а) (1, 0), (0, 1) и (1, 1); б) (0, 0), (3, 0) и (0, 3)?