МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Дмитрий Владимирович Трущин
2014/2015 учебный год

Занятие 2 (4 октября 2014 года). Принцип Дирихле

1.
Сто зайцев рассадили в 99 клеток. Докажите, что найдется клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца.
2.
В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть наугад, чтобы среди них заведомо нашлись два шарика одного цвета?
3.
Какое наибольшее число ладей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
4.
Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
5.
Какое наибольшее число слонов можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
6.
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок. Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
7.
В темном чулане хранится много носков 7 разных расцветок. Какое наименьшее число носков нужно забрать оттуда наощупь, чтобы из них можно было составить пару?
8.
На планете Айсберг живут пятирукие инопланетяне. На базе Айсберг–√17 хранятся перчатки восьми видов. В один печальный день на базе отключилось электричество. Какое наименьшее число перчаток Ыырг должен взять в темноте наугад, чтобы после выхода на свет он мог гарантировано надеть на каждую из своих рук одинаковые перчатки?
9.
В бригаде 7 человек, и их суммарный возраст — 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, суммарный возраст которых не меньше 142 лет.
10.
Пятьдесят один мужчина и сорок девять женщин сидят за круглым столом. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.
11.
Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
12.
Какое наибольшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в любом «уголке» из трех клеток осталось по меньшей мере одно незакрашенное поле?
13.
В клетках таблицы 3×3 расставили числа −1, 0 и 1. После этого вычислили суммы чисел в каждой из строк, в каждом из столбцов и в каждой из главных диагоналей. Докажите, что какие-то две из вычисленных сумм равны.
14.
Пятнадцать мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.
15.
В таблице 10×10 расставлены целые числа, причем любые два числа в соседних клетках отличаются не более, чем на 5. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
16.
Какое наибольшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
17.
Одиннадцать школьников занимаются в пяти кружках Малого Мехмата. Докажите, что найдутся такие два из этих школьников, что все кружки, которые посещает первый, посещает и второй.