МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 18 (28 марта 2015 года). Геометрия.

1.

Внутри прямоугольника ABCD выбрана такая точка X, что треугольник BCX равносторонний. Точка Y такова, что треугольник CDY равносторонний и внутри него лежит точка X. Докажите, что треугольник AXY также равносторонний.

2.

Точка D лежит на стороне AC равностороннего треугольника ABC. F — основание перпендикуляра, опущенного из D на BC, K — основание перпендикуляра, опущенного из F на AB, E — основание перпендикуляра, опущенного из K на AC, P — точка пересечения прямых KE и DF . Известно, что PD = DF. Найдите угол ADK.

3.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что AD = BD = CD, угол CBD равен углу BAC и угол ADB равен углу ACD. Найдите углы этого четырехугольника.

4.

Даны правильные треугольники ABC и ADF . Известно, что точка D расположена на стороне BC так, что отрезки DF и AB пересекаются. Кроме того, на стороне BC отмечена такая точка E, что BD = EC. Докажите, что прямые AB и EF перпендикулярны.

5.

На стороне AB треугольника ABC отмечена такая точка D, что AB = CD. Докажите, что BC > AD.

6.

В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BD. В треугольнике ADB проведена высота DE, а в треугольнике BCD проведена медиана DF . Оказалось, что BC + FD = 2BE. Найдите угол DFС.

7.

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD выбрана такая точка E, что AD = BE, угол ADE равен углу BEC, а угол ECD равен углу EDC. Докажите, что AD + BC > AB.

8.

BD — биссектриса треугольника ABC. Угол BDA равен 45°. К прямой BC в точке B провели перпендикуляр, который пересек продолжение отрезка AC за точку A в точке E. Докажите, что треугольник ABE равнобедренный.

9.

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. Из вершины A проведена высота AD. В треугольнике ABD проведена биссектриса BE. Докажите, что AB + AE = BC.

10.

На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка D, а на биссектрисе угла ABD отмечена такая точка E, что угол EAC равен 60°. (Точки B и E лежат по разные стороны от прямой AC.) Докажите, что BD = CD + AE.

11.

На боковых сторонах AC и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки D и E соответственно. Точка F пересечения биссектрис углов DEB и ADE лежит на основании AB. Докажите, что F — середина AB.

12.

Точки E и F расположены соответственно на сторонах AB и BC квадрата ABCD так, что BE = BF . Точка N — основание высоты, опущенной на сторону EC в треугольнике EBC. Продолжение этой высоты пересекает сторону AD в точке G. Отрезки FG и EC пересекаются в точке P . Докажите, что NG > PC.

13.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. На прямой AC выбрана такая точка D, что A — середина DC. Перпендикуляр к прямой DC в точке A пересекает отрезок BD в точке E. Докажите, что углы DBA и BCE равны.