МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Вокруг основной теоремы арифметики (8 февраля 2014 года)

1.

Разложите число 2014 на простые множители.

2.

Делится ли 3·2⁹ на а) 2; б) 3; в) 5; г) 6; д) 8; е) 9?

3.

Верно ли, что если натуральное число делится на 3 и на 4, то оно обязательно делится и на 12?

4.

Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно обязательно делится и на 24?

5.

Число a четно. Верно ли, что 3a делится на 6?

6.

Число 5b делится на 3. Верно ли, что b делится на 3?

7.

Число 15c делится на 6. Верно ли, что c делится на 6?

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если у них нет общих натуральных делителей, кроме единицы.

8.

Числа m и n взаимно просты. Докажите, что если число a делится и на m, и на n, то a делится на mn.

9.

Числа m и n взаимно просты. Докажите, что если число mb делится на n, то тогда число b делится на n.

10.

Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

11.

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 120.

12.

Ваня вычислил число 100! и записал результат надоску. На сколько нулей оканчивается записанное число?

13.

Решите в натуральных числах уравнение x² − y² = 31.

14.

Решите в целых числах уравнение x³ + x² + x − 3 = 0. (Напомним, что решить уравнение значит найти все его решения и доказать, что других нет!)

15.

56a = 65b. Докажите, что число a + b составное.