МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Двухцветные раскраски (7 декабря 2013 года)

1.

Может ли шахматный слон за несколько ходов дойти с клетки a1 до клетки a8?

2.

Шахматист сделал 5 ходов конем. Может ли конь оказаться на той же клетке, с которой он начинал?

3.

Может ли шахматный конь пройти с клетки a1 на клетку h8, побывав при этом на каждой клетке шахматной доски ровно по одному разу?

4.

Кузнечик прыгает по шахматной доске 100×100 в любую сторону. Первый раз он прыгает на 1 клетку, второй – на 2 клетки, третий – на 3 клетки и т.д.

а)

Может ли он через 49 прыжков оказаться в той же клетке, откуда начинал?

б)

Может ли он таким способом допрыгать за 50 прыжков из верхнего левого угла в правый нижний?

5.

На каждой клетке доски 7×7 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки переползают на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом хотя бы одна клетка окажется пустой.

6.

Можно ли доску 10×10 разрезать на т-тетраминошки?

7.

На каждой клетке доски 7×7 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки переползают на соседние по диагонали клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы 7 свободных клеток.

8.

На каждой клетке треугольной доски 5×5 сидит жук (см. рисунок). В некоторый момент все жуки переползают на соседние по стороне клетки этой доски. Докажите, что после этого найдутся по крайней мере 5 пустых клеток.

9.

Можно ли с помощью прямоугольников 1×4 замостить доску а) 8×8; б) 10×10?

10.

Раскрасьте клетки доски 5×5 в синий и красный цвета так, чтобы любые две соседние по вертикали клетки были одного цвета, а любые две соседние по горизонтали клетки – разных цветов.

11.

Можно ли шахматную доску разрезать на 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?