МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Дмитрий Владимирович Трущин
2013/2014 учебный год

Принцип крайнего (19 октября 2013 года)

1.
По кругу выписаны 2004 числа, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.
2.
Известно, что если у двух шестиклассников поровну знакомых в своей параллели, то общих знакомых у них нет. Варя знает 20 ребят. При этом известно, что ни у кого из ребят нет больше 20 знакомых. Докажите, что есть еще хотя бы один шестиклассник, у которого тоже ровно 20 знакомых на параллели.
3.
На шахматной доске стоит несколько а) ладей; б) ферзей. Обязательно ли найдется фигура, бьющая не более двух других?
4.
В Горностайском кружке прошло соревнование по перетягиванию каната, в результате все оказались занесены в список по убыванию силы. Дмитрий Владимирович задумался: верно ли, что любые трое перетянут любых двоих? За сколько перетягиваний он сможет это установить?
5.
У геолога есть чашечные весы без гирь и 8 камней. Он хочет знать, верно ли, что два камня всегда тяжелее одного. Как ему гарантированно проверить это
а)
за 19 взвешиваний;
б)
за 13 взвешиваний?
6.
25 астрономов на двадцати пяти разных планетах наблюдают друг за другом, причем каждый наблюдает за ближайшим к нему (среди расстояний между планетами нет одинаковых). Докажите, что
а)
есть две планеты, астрономы которых наблюдают друг за другом;
б)
хотя бы за одним астрономом никто не наблюдает.
7.
На полях доски 8 × 8 расставлены числа 1, 2, ..., 64. Докажите, что найдется пара соседних по стороне клеток, числа в которых отличаются не менее чем на 5.
8.
В марсианском метро с любой станции можно проехать на любую. Докажите, что можно так выбрать станцию и закрыть ее на ремонт (без права проезда через нее), что по-прежнему можно будет проехать с любой оставшейся станции на любую оставшуюся.
9.
Шахматная доска разбита на доминошки. Докажите, что какая-то пара домино образует квадратик 2 × 2.
10.
Семь грибников собрали вместе 59 грибов, причем каждый собрал разное количество. Докажите, что какие-то три грибника собрали вместе не менее 33 грибов.