МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Коробицын Дмитрий Александрович
2007/2008 учебный год

Математическая карусель (29.09.2007)

1.
Денису выставили годовые оценки по 12 предметам. Его средний балл оказался равен 3,5. По скольким предметам ему надо повысить свои оценки на 1 балл, чтобы средний балл стал равен 4?

Решение Ответ

Решение. Пусть сумма баллов Дениса по 12 предметам равна A. Тогда по условию A=3,5·12=42. Пусть ему надо повысить оценки по N предметам. Тогда средний балл будет равняться 4, а значит A + N=4·12=48. Отсюда N=48 − A=6.
Ответ. По шести предметам.
2.
Сколькими способами сто миллионов можно представить в виде произведения двух целых чисел, в каждом из которых не было бы ни одного нуля?

Решение Ответ

Решение. В разложении на простые множители имеются только 2 и 5, но они не могут присутствовать в одном числе одновременно, иначе, оно оканчивается на ноль. Значит, подходит только вариант с учётом знаков 28·58, но 58=390625, что не удовлетворяет условию. Следовательно, нет ни одного способа.
3.
У Пети 44 монеты и он хочет разложить их по карманам так, чтобы в них было разное количество монет. При каком наибольшем количестве карманов он это сможет сделать?

Решение Ответ

Решение. Если бы количество карманов было не менее 10, то для выполнения условия Пете необходимо бы было иметь не менее 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9=45 монет, а их всего 44. Значит, надо не более 9 карманов, при этом для 9 карманов пример раскладывания монет есть: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16.
4.
Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника с боковой стороной 7 см проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося четырёхугольника.
5.
Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, у которого в любой паре соседних цифр одна цифра делится на другую.
6.
Найдите наименьшее десятизначное число, у которого в любой паре соседних цифр одна цифра делится на другую.
7.
Найдите наименьшее десятизначное число из различных цифр, у которого в любой паре соседних цифр одна цифра делится на другую.
8.
Найдите (одно) трёхзначное число, все цифры в котором различны и стоят в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одинаковых букв.
9.
Дана последовательность: x1=1, x2=2, а xn + 2=xn + 1 − xn при любом натуральном n. Чему равен x2007?
10.
Представьте 100 в виде 4 таких слагаемых, что если к первому из них прибавить 4, от второго отнять 4, третье умножить на 4, а четвёртое разделить на 4, то все результаты будут равны.
11.
В однокруговом шахматном турнире участвует 18 шахматистов. У скольких из них по окончании турнира могло оказаться ровно 2 очка? (победа - 1 очко, ничья - 1/2 очка, поражение - 0)
12.
Питон длиной 16 м проползает по бревну длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы проползти мимо стоящего дерева?
13.
Из числа 123456789 вычёркивается минимальное количество цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 8. Какое число останется после вы-чёркивания цифр?
14.
Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 30 и имеющее ровно 105 различных натуральных делителей.
15.
Разрежьте лесенку 8×8 на три части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
16.
Шахматисты в турнире сыграли 224 партии. Каждые двое сыграли друг с другом одно и тоже число партий. Сколько всего шахматистов?
17.
В четырёхзначном числе каждую цифру увеличили на 1 или на 5, в результате чего оно увеличилось в четыре раза. Каким могло быть исходное число?
18.
Каково минимальное количество человек в компании такой, что их можно пронумеровать последовательными натуральными числами, начиная с 1, так, что у номера 1 - один друг в компании, а у любого другого человека количество друзей больше одного и является делителем его номера?
19.
Угол BAC треугольника ABC равен 120°. На биссектрисе этого угла взята точка D так, что AD=AB+AC. Найдите углы треугольника BDC.
20.
Найдите наименьшее натуральное число, которое получается выписыванием друг за другом 14 различных натуральных чисел.
Результаты игры можно посмотреть здесь.