МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 4. Конструкции (27.10.2007)

1.

Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны 20.

2.

Можно ли расставить в клетках доски а) 2×2; б) 4×4; в) 10×10 числа 1, − 1 и 0 так, чтобы суммы чисел по всем строкам и всем столбцам были различны?

3.

У Гоши есть две краски: чёрная и белая. Его ставят на клетку доски 8×8, где все клетки белые. За один ход он может перейти на соседнюю по стороне клетку, перекрасив её в противоположный цвет.

а)

Докажите, что если в начале Гоша стоит на клетке b8, то он сможет покрасить доску в шахматном порядке.

б)

Останется ли утверждение верным, если неизвестно, где он в начале стоит?

4.

Существует ли натуральное число, произведение всех натуральных делителей которого оканчивается ровно на 2007 нулей?

5.

Найдите какое-нибудь девятизначное число N, состоящее из различных цифр, такое, что среди всех чисел, получающихся из N вычёркиванием семи из них, было бы не более одного простого.

6.

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из них написать ненулевую цифру так, чтобы из всех карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, делящееся на 11?

7.

Докажите, что для любого n найдутся n последовательных натуральных чисел, каждое из которых делится на точный квадрат, больший 1.

8.

Ваня выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую - куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечетное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить? (Как обычно, ладьи бьют друг друга по вертикали и горизонтали и только, если между ними нет других ладей.)