МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Коробицын Дмитрий Александрович
2007/2008 учебный год

Занятие 14. Правильные многоугольники (01.03.2008)

Правильным называется многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
1.
Чему равен угол правильного n-угольника? (n - данное фиксированное число.)
2.
Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.
3.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL правильный.
4.
Внутри квадрата ABCD построен равносторонний треугольник BCK. Прямые BK и CD пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков KD и AP, равен половине стороны квадрата.
5.
а)
Докажите, что для любого правильного многоугольника существует окружность, проходящая через все его вершины.
б)
Докажите, что для любого правильного многоугольника существует окружность, касающаяся всех его сторон.
в)
Докажите, что у любого правильного многоугольника центры этих двух окружностей совпадают.
г)
Найдите радиусы этих окружностей в правильном шестиугольнике со стороной a.
6.
Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других?
7.
В правильном n-угольнике (n > 5) разность между наибольшей и наименьшей диагоналями равна стороне. Найдите n.
8.
Правильный восьмиугольник разрезан на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по крайней мере два прямоугольника.
9.
В правильном n-угольнике нужно покрасить каждую сторону и каждую диагональ каким-либо цветом так, чтобы любые два из этих отрезков, имеющих общую точку, были окрашены различно. Какое наименьшее количество цветов необходимо для этого?