МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 8. Целая и дробная часть числа (08.12.2007)

Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Дробной частью числа x называется такое число {x}, что [x] + {x}=x.

1.

Какие числа по модулю меньше модуля своей целой части?

2.

Постройте графики функций: а) y=[x]; б) y={x}.

3.

Найдите наименьшее число x, удовлетворяющее неравенству [x]{x} ≥ 3.

4.

Докажите равенство: [x + 1⁄2]=[2x] − [x].

5.

Докажите неравенства: а) 0 ≤ [2x] − 2[x] ≤ 1; б) [2x] + [2y] ≥ [x] + [y] + [x + y].

6.

Решите систему уравнений:

{	x	+	[y]	+	{z}	=	3,9
	y	+	[z]	+	{x}	=	3,5	.
	z	+	[x]	+	{y}	=	2

7.

Докажите для натуральных n:

а)

[V 1 ]+[V 2 ]+...+[V n² − 1 ]=n(n − 1)(4n + 1)⁄6, где n ≥ 2;

б)

[V n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ]=n² + 3n.

8.

На плоскости расположено [n·4⁄3] прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с n другими. Докажите, что найдётся прямоугольник, пересекающийся со всеми остальными.