МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 7. Площадь (24.11.2007)

Мы считаем известным следующий факт: площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

1.

Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

2.

Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунке (сторона клетки равна 1).

3.

а) Докажите, что площадь остроугольного треугольника равна половине произведения любой из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону из противолежащей вершины. б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного треугольника.

4.

а)

Докажите, что медиана разбивает треугольник на два треугольника равной площади.

б)

Пусть точка М принадлежит медиане АК треугольника АВС. Докажите, что площади треугольников АМВ и АМС равны.

5.

а)

Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник площади в 4 раза меньшей, чем площадь исходного.

б)

Середины соседних сторон выпуклого четырехугольника соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного четырехугольника вдвое меньше площади данного.

6.

На соседних сторонах прямоугольника выбраны произвольно точки А и В. Их соединили с вершинами так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей серых многоугольников равна площади черного многоугольника.

7.

В квадрате расположены 2008 фигур, сумма площадей которых больше 2007S, где S - площадь квадрата. Докажите, что у всех этих фигур есть общая точка.

8.

В квадрате со стороной 2 расположена фигура, площадь которой больше 1. Докажите, что найдутся две точки, принадлежащие этой фигуре, расстояние между которыми равно 1.