МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Популярные лекции по математике
2018-2019 учебный год

Лекция 1 (446) 15.09.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Инварианты узлов. Суммы Кауффмана и инвариант Джонса

Что такое узлы и зацепления? Как изображать узлы на плоскости? Что такое изотопия и преобразования Рейдемейстера? Что такое суммы Кауфмана и как при помощи них построить инвариант Джонса — выражение, не меняющееся при преобразованиях Рейдемейстера (то есть не зависящее от того, как верёвка изгибается)?

Есть видеозапись:
1. «Узлы и зацепления. Преобразования Рейдемейстера»;
2. «Инварианты зацеплений»;
3. «Сумма Кауффмана»;
4. «Второе преобразование Рейдемейстера и сумма Кауффмана»;
5. «Первое преобразование Рейдемейстера и сумма Кауффмана»;
6. «Алексей Брониславович Сосинский»;
7. «Из закрученности зацепления и суммы Кауффмана создаём инвариант Джонса»;
8. «Инвариант Джонса трилистника»;
9. «Распутывающее соотношение для инварианта Джонса»;
10. «Распутывающее соотношение Конвея»;
11. «Третье преобразование Рейдемейстера и сумма Кауффмана».

Лекция 2 (447) 22.09.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Количества целых точек в многоугольниках и многогранниках, или Формулы Пика. Теорема Эрхарта-Макдональда

Сколько точек с целыми координатами лежит внутри многоугольника (или многогранника), координаты всех вершин которого — целые числа? А сколько на границе? Как эти количества связаны с площадью (объёмом)? А.Г. Кушниренко в статье «Целые точки в многоугольниках и многогранниках» объяснил, как выглядят всевозможные формулы такого типа.

Количество внутренних точек инвариантно, но не аддитивно, поскольку в формуле включений-исключений для этой функции должен бы стоять знак сложения вместо знака вычитания. Но если мы домножим количество внутренних точек на минус единицу, возведённую в степень, равную размерности, в которой мы эти самые внутренние точки рассматриваем, то функция становится аддитивной! Таким образом мы получаем крайне короткое и прозрачное доказательство теоремы Эрхарта-Макдональда о количестве внутренних точек.

Есть видеозапись:
1. «Формула Пика для площади многоугольника»;
2. «Точка, отрезок и треугольник. Аддитивные инвариантные функции»;
3. «Выражаем стандартный базис через 1, N и S»;
4. «Формулы Пика и теорема Эрхарта-Маклорена для плоскости»;
5. «Формула Пика для трёхмерного пространства»;
6. «Функция B в трёхмерном случае»;
7. «Неаддитивность функции I»;
8. «Теоремы Эрхарта-Макдональда доказательство»;
9. «Теорема Эрхарта-Макдональда и системы неравенств»;
10. «Обсуждение короткого доказательства теоремы Эрхарта-Макдональда»;
11. «Идея Стивена Сэма доказательства теоремы Эрхарта-Макдональда»;
12. «Парадоксальное сложение, или Целые точки и бесконечные ряды»;
13. «Количество целых точек в сумме Минковского».

Лекция 3 (448) 29.09.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Вычислимое и невычислимое

Все ли математические задачи можно решить? Например, можно ли узнать, разрешимо ли данное уравнение в целых числах или у него нет ни одного такого решения? Можно ли по тексту программы узнать, остановится её работа или будет продолжаться вечно? Что такое перечислимое множество? А что такое разрешимое множество? Логики XIX и XX века нашли ответы на эти казавшиеся несколько философскими вопросы. Вопросы оказались вполне математическими, и столь же чёткими и математическими оказались ответы.

Множество разрешимо тогда и только тогда, когда его характеристическая функция вычислима. Множество разрешимо тогда и только тогда, когда оно и его дополнение перечислимы. Пересечение и объединение перечислимых множеств перечислимы.

Существует перечислимое неразрешимое множество. Более того, существует бесконечный набор перечислимых множеств, не пересекающих друг друга и не отделимых друг от друга.

Советую брошюру В.А. Успенского «Теорема Гёделя о неполноте» и учебник Н.К. Верещегина и А.Х. Шеня «Вычислимые функции».

Есть видеозапись:
1. «Вычислимое и невычислимое»;
2. «Вычислимые функции и перечислимые множества»;
3. «Разрешимые и перечислимые множества»;
4. «Универсальная вычислимая функция»;
5. «Алгоритмическая неразрешимость проблемы остановки»;
6. «Неразрешимое перечислимое множество»;
7. «Во всяком бесконечном перечислимом множестве есть бесконечное разрешимое подмножество»;
8. «Множество нижних точек».

Лекция 4 (449) 6.10.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Тождество Гаусса-Якоби

Научились перемножать степенные ряды, доказали комбинаторно и алгебраически тождество Эйлера о том, что количество разбиений числа на нечётные слагаемые равно количеству разбиений на попарно различные слагаемые, комбинаторно доказали пентагональное тождество Эйлера.

Разобрали комбинаторное доказательство Владимира Титенко тождества Гаусса-Якоби: изображая единицу половиной клетки и отрезав треугольник, получили разбиение чётного числа на чётные слагаемые. На одной из следующих лекций будут изложены ещё три доказательства тождества Гаусса-Якоби и получены следствия из него.

Есть видеозапись:
1. «Разбиений на нечётные слагаемые столько же, сколько на попарно различные»;
2. «Пентагональное тождество Эйлера»;
3. «Количество разбиений числа на слагаемые»;
4. «Комбинаторное доказательство пентагонального тождества Эйлера»;
5. «Тождество Гаусса-Якоби»;
6. «Комбинаторное доказательство тождества Гаусса-Якоби».

Лекция 5 (450) 13.10.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Что такое доказательство? Теорема Гёделя о неполноте

Это вторая лекция из цикла лекций по математичеcкой логике. Советую послушать прочитанную 29 сентября 2018 года первую лекцию, особенно с учётом того, что они являются подготовительными к лекциям В.Е. Плиско 20 и 27 октября.

Советую брошюру В.А. Успенского «Теорема Гёделя о неполноте» и трёхтомник Н.К. Верещегина и А.Х. Шеня «Лекции по математической логике и теории алгоритмов».

Лекция 6 (451) 20.10.2018

Валерий Егорович ПЛИСКО,

кандидат физико-математических наук, доцент мехмата МГУ, автор учебных пособий «Вводный курс математической логики», «Теория алгоритмов», «Интуиционистская логика», «Математическая логика и теория алгоритмов».

Конструктивная логика

Математики давно различают конструктивные и неконструктивные доказательства. Конструктивное доказательство теоремы существования даёт конкретный пример объекта, существование которого утверждается. Идея конструктивности лежит в основе так называемой интуиционистской математики и логики. В докладе проводится сравнительный анализ основных понятий классической и интуиционистской логик и методов их исследования. Излагаются начальные представления о конструктивной математике и логике, в которых идеи интуиционизма уточняются в терминах теории алгоритмов.



наверх!
Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS