МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Популярные лекции по математике
2018-2019 учебный год

Лекция 1 (446) 15.09.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Инварианты узлов. Суммы Кауффмана и инвариант Джонса

Что такое узлы и зацепления? Как изображать узлы на плоскости? Что такое изотопия и преобразования Рейдемейстера? Что такое суммы Кауфмана и как при помощи них построить инвариант Джонса — выражение, не меняющееся при преобразованиях Рейдемейстера (то есть не зависящее от того, как верёвка изгибается)?

Есть видеозапись:
1. «Узлы и зацепления. Преобразования Рейдемейстера»;
2. «Инварианты зацеплений»;
3. «Сумма Кауффмана»;
4. «Второе преобразование Рейдемейстера и сумма Кауффмана»;
5. «Первое преобразование Рейдемейстера и сумма Кауффмана»;
6. «Алексей Брониславович Сосинский»;
7. «Из закрученности зацепления и суммы Кауффмана создаём инвариант Джонса»;
8. «Инвариант Джонса трилистника»;
9. «Распутывающее соотношение для инварианта Джонса»;
10. «Распутывающее соотношение Конвея»;
11. «Третье преобразование Рейдемейстера и сумма Кауффмана».

Лекция 2 (447) 22.09.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Количества целых точек в многоугольниках и многогранниках, или Формулы Пика. Теорема Эрхарта-Макдональда

Сколько точек с целыми координатами лежит внутри многоугольника (или многогранника), координаты всех вершин которого — целые числа? А сколько на границе? Как эти количества связаны с площадью (объёмом)? А.Г. Кушниренко в статье «Целые точки в многоугольниках и многогранниках» объяснил, как выглядят всевозможные формулы такого типа.

Количество внутренних точек инвариантно, но не аддитивно, поскольку в формуле включений-исключений для этой функции должен бы стоять знак сложения вместо знака вычитания. Но если мы домножим количество внутренних точек на минус единицу, возведённую в степень, равную размерности, в которой мы эти самые внутренние точки рассматриваем, то функция становится аддитивной! Таким образом мы получаем крайне короткое и прозрачное доказательство теоремы Эрхарта-Макдональда о количестве внутренних точек.

Есть видеозапись:
1. «Формула Пика для площади многоугольника»;
2. «Точка, отрезок и треугольник. Аддитивные инвариантные функции»;
3. «Выражаем стандартный базис через 1, N и S»;
4. «Формулы Пика и теорема Эрхарта-Маклорена для плоскости»;
5. «Формула Пика для трёхмерного пространства»;
6. «Функция B в трёхмерном случае»;
7. «Неаддитивность функции I»;
8. «Теоремы Эрхарта-Макдональда доказательство»;
9. «Теорема Эрхарта-Макдональда и системы неравенств»;
10. «Обсуждение короткого доказательства теоремы Эрхарта-Макдональда»;
11. «Идея Стивена Сэма доказательства теоремы Эрхарта-Макдональда»;
12. «Парадоксальное сложение, или Целые точки и бесконечные ряды»;
13. «Количество целых точек в сумме Минковского».

Лекция 3 (448) 29.09.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Вычислимое и невычислимое

Все ли математические задачи можно решить? Например, можно ли узнать, разрешимо ли данное уравнение в целых числах или у него нет ни одного такого решения? Можно ли по тексту программы узнать, остановится её работа или будет продолжаться вечно? Что такое перечислимое множество? А что такое разрешимое множество? Логики XIX и XX века нашли ответы на эти казавшиеся несколько философскими вопросы. Вопросы оказались вполне математическими, и столь же чёткими и математическими оказались ответы.

Множество разрешимо тогда и только тогда, когда его характеристическая функция вычислима. Множество разрешимо тогда и только тогда, когда оно и его дополнение перечислимы. Пересечение и объединение перечислимых множеств перечислимы.

Существует перечислимое неразрешимое множество. Более того, существует бесконечный набор перечислимых множеств, не пересекающих друг друга и не отделимых друг от друга.

Есть видеозапись:
1. «Вычислимое и невычислимое»;
2. «Вычислимые функции и перечислимые множества»;
3. «Разрешимые и перечислимые множества»;
4. «Универсальная вычислимая функция»;
5. «Алгоритмическая неразрешимость проблемы остановки»;
6. «Неразрешимое перечислимое множество»;
7. «Во всяком бесконечном перечислимом множестве есть бесконечное разрешимое подмножество»;
8. «Множество нижних точек».

Лекция 4 (449) 6.10.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Тождество Гаусса-Якоби

Научились перемножать степенные ряды, доказали комбинаторно и алгебраически тождество Эйлера о том, что количество разбиений числа на нечётные слагаемые равно количеству разбиений на попарно различные слагаемые, комбинаторно доказали пентагональное тождество Эйлера.

Разобрали комбинаторное доказательство Владимира Титенко тождества Гаусса-Якоби: изображая единицу половиной клетки и отрезав треугольник, получили разбиение чётного числа на чётные слагаемые. На одной из следующих лекций будут изложены ещё три доказательства тождества Гаусса-Якоби и получены следствия из него.

Есть видеозапись:
1. «Разбиений на нечётные слагаемые столько же, сколько на попарно различные»;
2. «Пентагональное тождество Эйлера»;
3. «Количество разбиений числа на слагаемые»;
4. «Комбинаторное доказательство пентагонального тождества Эйлера»;
5. «Тождество Гаусса-Якоби»;
6. «Комбинаторное доказательство тождества Гаусса-Якоби».

Лекция 5 (450) 13.10.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Что такое доказательство? Теорема Гёделя о неполноте

Это вторая лекция из цикла лекций по математичеcкой логике. Советую послушать прочитанную 29 сентября 2018 года первую лекцию, особенно с учётом того, что они обе являются подготовительными к лекциям В.Е. Плиско 20 и 27 октября.

Советую брошюру В.А. Успенского «Теорема Гёделя о неполноте» и трёхтомник Н.К. Верещегина и А.Х. Шеня «Лекции по математической логике и теории алгоритмов».

Есть видеозапись:
9. «Напоминание: перечислимые и разрешимые множества; множество разрешимо тогда и только тогда, когда оно и его дополнение перечислимы»;
10. «Диофантовы множества перечислимы, а перечислимые диофантовы»;
11. «Перечислимость множества доказуемых утверждений»;
12. «Аксиомы арифметики Джузеппе Пеано»;
13. «Нестандартная модель арифметики Пеано»;
14. «Неперечислимость множества истинных утверждений арифметики»;
15. «Примитивно рекурсивные функции»;
16. «Гёдель и китайская теорема об остатках».

Лекция 6 (451) 20.10.2018

Валерий Егорович ПЛИСКО,

кандидат физико-математических наук, доцент мехмата МГУ, автор учебных пособий «Вводный курс математической логики», «Теория алгоритмов», «Интуиционистская логика», «Математическая логика и теория алгоритмов».

Конструктивная логика

Математики давно различают конструктивные и неконструктивные доказательства. Конструктивное доказательство теоремы существования даёт конкретный пример объекта, существование которого утверждается. Идея конструктивности лежит в основе так называемой интуиционистской математики и логики. Проводён сравнительный анализ основных понятий классической и интуиционистской логик и методов их исследования. Изложены начальные представления о конструктивной математике и логике, в которых идеи интуиционизма уточняются в терминах теории алгоритмов.

Есть видеозапись:
1. «Возведение иррационального числа в иррациональную степень»;
2. «Основания математики: множества»;
3. «Парадокс Рассела»;
4. «Интуиционизм»;
5. «Вещественные числа и интуиционизм»;
6. «Аксиомы и правило вывода классической логики высказываний»;
7. «Исчисление Колмогорова. Интуиционистское исчисление. Не высказывания, а задачи!»;
8. «Модель интуиционистского исчисления высказываний»;
9. «"Интуиционистская логика" В.Е. Плиско и В.Х. Хаханяна».

Лекция 7 (452) 27.10.2018

Валерий Егорович ПЛИСКО,

кандидат физико-математических наук, доцент мехмата МГУ, автор учебных пособий «Вводный курс математической логики», «Теория алгоритмов», «Интуиционистская логика», «Математическая логика и теория алгоритмов».

Конструктивная логика

Вторая часть лекции.

Есть видеозапись:
10. «Интуиционистское исчисление высказываний (напоминание и пример вывода)»;
11. «Вывод из гипотез и другие способы построения выводов»;
12. «Модели Крипке»;
13. «Доказательства невыводимости при помощи моделей Крипке»;
14. «Теорема Гливенко»;
15. «Интуиционистское исчисление предикатов»;
16. «Модели Крипке и предикаты»;
17. «Конструктивная семантика».

Лекция 8 (453) 3.11.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Малая теорема Ферма и символ Лежандра

Предварительная лекция к рассказу Ильи Дмитриевича Шкредова о методе тригонометрических сумм.

Обсудили чрезвычайно важные для всей математики арифметические понятия. Доказали малую теорему Ферма, определили функцию Эйлера и символ Лежандра. Доказали, что для любого натурального числа сумма значений функции Эйлера, вычисленной для всех делителей рассматриваемого числа, равна этому числу. Доказали, что мультипликативная группа вычетов по простому модулю циклична. Доказали правило Эйлера вычисления символа Лежандра, мультипликативность этого символа и два дополнения к квадратичному закону взаимности.

Есть видеозапись:
0. «Илья Дмитриевич Шкредов и его лекции о тригонометрических суммах»;
1. «Таблица умножения и малая теорема Ферма»;
2. «Цикличность мультипликативной группы вычетов по простому модулю, или Первообразный корень»;
3. «Порядок ненулевого остатка по простому модулю»;
4. «Простые делители значений многочлена деления круга на 5 частей»;
5. «Если степень числа 2 в сумме с числом 1 делится на показатель степени, то он делится на 3»;
6. «Делители произведения двух последовательных натуральных чисел, увеличенного на 1»;
7. «Функция Эйлера»;
8. «Доказательство существования первообразного корня индукцией по делителям количества элементов мультипликативной группы вычетов по простому модулю»;
9. «Символ Лежандра. Формула Эйлера. Квадратичные вычеты и невычеты»;
10. «Пояснение к выводу мультипликативности символа Лежандра из формулы Эйлера»;
11. «Первое дополнение к квадратичному закону взаимности»;
12. «Второе дополнение к квадратичному закону взаимности».

Лекция 9 (454) 10.11.2017

Илья Дмитриевич ШКРЕДОВ,

ведущий научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, профессор кафедры динамических систем мехмата МГУ.

Тригонометрические суммы

Рассказ об очень мощном методе теории чисел — методе тригонометрических сумм. С его помощью было доказано, например, что любое нечётное число, начиная с 7, есть сумма трёх простых, любое число, большее 13792, есть сумма 16 четвёртых степеней, а также решены многие другие аддитивные задачи.

Было введено дискретное преобразование Фурье на кольце вычетов по простому модулю. На следующей лекции будут рассмотрены некоторые несложные тернарные аддитивные задачи в конечном поле и будет доказан результат И.М. Виноградова о минимальном квадратичном невычете.

Для понимания лекции необходимо знать, что такое малая теорема Ферма, символ Лежандра, комплексное число.

Есть видеозапись:
13. «Интересные теоремы, доказанные при помощи тригонометрических сумм»;
14. «Квадратичные вычеты и невычеты, символ Лежандра»;
15. «Формула Эйлера и мультипликативность символа Лежандра»;
16. «Граф Пэли»;
17. «Количество общих соседей двух вершин графа Пэли»;
18. «Максимальный полный подграф графа Пэли»;
19. «Экспонента чисто мнимого числа. Сумма степеней корня из 1»;
20. «Дискретное преобразование Фурье»;
21. «Равенство Планшереля»;
22. «Свёртка»;
23. «Начало доказательства теоремы о количестве элементов полного подграфа графа Пэли: свёртка при преобразовании Фурье соответствует произведению»;
24. «Преобразование Фурье символа Лежандра — сумма Гаусса»;
25. «Завершение доказательства оценки сверху количества вершин полного подграфа графа Пэли».

Лекция 10 (455) 17.11.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Задача Наполеона, интерполяционная формула Лагранжа и преобразование Фурье, или Где Сатурн?

Предварительная лекция к второй части рассказа Ильи Дмитриевича Шкредова о методе тригонометрических сумм. Повторили — с гораздо более «школьной» точки зрения — определение и свойства дискретного преобразования Фурье.

Есть видеозапись:
26. «Земля и Сатурн, задача Наполеона, манная каша»;
27. «Комплексные числа и задача Наполеона»;
28. «Постановка задачи о пиближении треугольника правильным треугольником»;
29. «Обсуждение приближения данного треугольника правильным»;
30. «Интерполяционная формула Лагранжа, или Где Сатурн?»;
31. «Корни из 1. Обратное и прямое дискретные преобразования Фурье»;
32. «Произведений расстояний от вершины правильного многоугольника до других вершин»;
33. «Пример: преобразование Фурье для 3»;
34. «Манная каша»;
35. «Равенство Планшереля».

Лекция 11 (456) 24.11.2018

Илья Дмитриевич ШКРЕДОВ,

ведущий научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, профессор кафедры динамических систем мехмата МГУ.

Тригонометрические суммы

Продолжение лекции 10.11.2018. Напомнив, что такое модуль гауссовой суммы и формула обращения, поняли, как оценивать величину минимального квадратичного невычета (это почти то же, что было 10.11.2018, но повторили для ясности) и доказали, рассматривая суммы Якобсталя, что любое простое, дающее остаток 1 по модулю 4, есть сумма квадратов двух целых чисел.

Можете познакомиться с вопросами аналогичного курса 2015 года. (Разумеется, в этом году не всё в точности так, как было тогда.)

Есть видеозапись:
36. «Минимальный квадратичный невычет. Теорема Бёрджесса»;
37. «Напоминания»;
38. «Свёртка символа Лежандра с 1 и с самим собой. Модуль суммы Гаусса»;
39. «Наименьший квадратичный невычет»;
40. «Сумма значений символа Лежандра от многочлена второй степени»;
41. «Суммы Якобсталя и теорема Ферма-Эйлера о представимости простого числа, дающего остаток 1 при делении на 4, в виде суммы двух квадратов»;
42. «Идея доказательства теоремы Шура».

Лекция 12 (457) 24.11.2018

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и LIRMM (Монпелье, Франция), автор многих брошюр и книг для школьников и студентов: «Геометрия в задачах», «Программирование: теоремы и задачи», «Вероятность: примеры и задачи», «Игры и стратегии с точки зрения математики», «Математическая индукция», «Простые и составные числа», «О «математической строгости» и школьном курсе математики», «Космография».

Замощения плоскости

Представим себе, что есть некоторый набор типов квадратных плиток с цветными сторонами и разрешено прикладывать сдвинутые копии таких плиток сторона к стороне, если цвета совпадают. Знаменитая теорема Бергера-Робинсона говорит, что существует такой конечный набор типов плиток, что выложить плоскость можно, но только непериодически. Обсудили смысл этой теоремы и одно из её доказательств (по Ярко Кари).

Есть видеозапись:
1. «Квадратные плитки с окрашенными сторонами. Период замощения»;
2. «Периодическое и непериодическое замощения»;
3. «Набор из 4 плиток»;
4. «Формулировка теоремы о существовании системы плиток, копиями которых можно покрыть плоскость, но только непериодически. Одномерный случай»;
5. «Если для некоторой системы плиток существует замощение, выдерживающее перенос на ненулевой невертикальный вектор, то существует и замощение, выдерживающее переносы на тот же вектор и на некоторый вертикальный (а тогда и горизонтальный) вектор.»;
6. «Умножение на 3 или деление на 2»;
7. «Идея системы плиток, которыми можно только непериодически покрыть плоскость»;
8. «Плитки, копиями которых можно покрыть плоскость, но только непериодически»;
9. «Плитки Аммана. 13, 12 и 11 плиток. Машины Тьюринга».

Лекция 13 (458) 1.12.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Тождество Гаусса-Якоби

Разобрали алгебраическое доказательства тождества Якоби. Вывели из него тождество Гаусса. Узнали, как крестики-нолики позволяют закодировать диаграмму Юнга и как связаны доказательства Лейбензона и Титенко.

Есть видеозапись:
7. «Алгебраическое доказательство тождества Якоби»;
8. «Тождество Гаусса»;
9. «Новый вид тождества Якоби, или Задача М1065»;
10. «Крестики и нолики»;
11. «Как по крестикам-ноликам построить диаграмму Юнга? А диаграмму с треугольным носом?»;
12. «Задача М737».

Лекция 14 (459) 8.12.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Суммы Гаусса. Приближение произвольного треугольника равносторонним

Продолжение рассказа о тригонометрических суммах. Завершили решение задачи о приближении произвольного треугольника равносторонним. Выразили сумму Якобсталя через биномиальный коэффициент. Нашли квадрат гауссовой суммы.

Лекция 15 (460) 15.12.2018

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Тождество Гаусса-Якоби

Ещё раз посмотрим на крестики-нолики и узнаем, насколько тесно связаны они с диаграммами Юнга. Выведем некоторые следствия из тождества Гаусса-Якоби. Узнаем, как связано пентагональное тождество Эйлера с суммами делителей. Разберём давно обещанное комбинаторное доказательство тождества Гаусса-Якоби, связанное с параболами и векторами.

Лекция 16 (461) 15.12.2018

Сергей Валерьевич МАРКЕЛОВ,

учитель школы № 57.

Открытые проблемы элементарной геометрии

Лекция будет с 19 часов в аудитории П12 второго гумкорпуса МГУ. Вот несколько примеров неподдающихся задач.

  • Каково минимальное число цветов, в которые можно так раскрасить плоскость, чтобы концы любого отрезка длины 1 были покрашены в разные цвета?
  • Существует ли раскраска точек пространства в 14 цветов, при которой концы любого отрезка длины 1 одного цвета?
  • Сколько точек общего положения должно быть отмечено на плоскости, чтобы среди них непременно нашлись вершины выпуклого шестиугольника?
  • В любом ли многоугольнике с зеркальными изнутри сторонами можно так разместить лампочку, чтобы он был освещён весь?
  • Можно ли несколькими кругами, зеркальными снаружи, не пересекающими друг друга и даже не касающимися, загородить горящую лампочку?
  • В любом ли многоугольнике с зеркальными сторонами существует хотя бы один замкнутый путь светового луча?
  • Существует ли многоугольник, копиями которого плоскость можно покрыть, но только непериодическим образом?
  • Может ли выпуклый многогранник, которым можно замостить всё пространство, иметь больше 38 граней?
  • Какова фигура минимальной площади, которой можно покрыть любой многоугольник диаметра 1?
  • Какова фигура минимальной площади, которой можно покрыть любую фигуру периметра 1?
  • Сколь велика может быть площадь n-угольника диаметра 1 при данном n?
  • У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?
  • Рассмотрим n точек, не лежащих на одной прямой. Обязательно ли среди них найдётся точка, через которую проходит не менее n/3 прямых, соединяющих её с остальными n – 1 точками?


наверх!
Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS