МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Популярные лекции по математике
2017-2018 учебный год

Лекция 1 (421) 16.09.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Композиции булевых функций, полные и предполные классы функций

Монотонные, самодвойственные, линейные, сохраняющие ноль, сохраняющие единицу — таковы пять предполных классов булевых функций. Узнали, что такое многочлен Жегалкина, дизъюнктивная нормальная форма, стрелка Пирса и штрих Шеффера. Доказали теорему Поста: любой набор, не содержащийся ни в одном из этих пяти классов, порождает всё множество булевых функций. Лекция не требует никаких предварительных знаний, кроме умения следить за математическими рассуждениями.

Есть видеозапись:
1. «Булевы функции, стрелка Пирса и штрих Шеффера»;
2. «Дизъюнктивная нормальная форма, многочлены Жегалкина»;
3. «Предполные классы Эмиля Поста»;
4. «Штрих Шеффера и стрелка Пирса»;
5. «Формулировка теоремы Поста о предполных классах»;
6. «Доказательство теоремы Поста о пяти предполных классах»;
7. «Иллюстрация к теореме Поста (ноль, единица, конъюнкция и сумма трёх переменных)».

Лекция 2 (422) 23.09.2017

Сергей Борисович ГАШКОВ,

автор книг «Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений», «Элементарное введение в эллиптическую криптографию», «Криптографические методы защиты информации», «Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях», «Системы счисления и их применения».

Два отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Четырёхмерный куб

При помощи конъюнкций, дизъюнкций и всего лишь двух отрицаний можно построить все булевы функции трёх переменных. Доказательство основано на том, что при помощи двух отрицаний, конъюнкций и дизъюнкций сначала строим симметрические функции, а затем легко завершаем доказательство.

Что такое двоичный многомерный куб? Как его рисовать, как на нём наглядно изображать булевы функции (то же, что функции алгебры логики)? Как это применять в комбинаторике?

Советую посмотреть рассказ о двоичном сумматоре.

Есть видеозапись:
1. «Два отрицания, конъюнкции и дизъюнкции»;
2. «Четырёхмерный куб»;
3. «Кратчайшая дизъюнктивная нормальная форма».

Лекция 3 (423) 30.09.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Комплексные числа и кватернионы

Что такое модуль и аргумент комплексного числа, как их использовать для описания поворотных гомотетий плоскости?

Как выразить произведение кватернионов через скалярное и векторное произведение векторов?

Как произведение кватернионов помогает в доказательстве теоремы Лагранжа о представимости любого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов целых чисел?

Лекция 4 (424) 7.10.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметикас2».

Комплексные числа и кватернионы, а также о причёсывании ёжа

Поворот пространства вокруг данной оси, проходящей через начало координат, легко записать при помощи умножения кватернионов.

Обсудим векторные поля, касательные к окружности, сфере и трёхмерной сфере, в том числе невозможность причесать ежа (то есть несуществование непрерывного касательного к двумерной сфере векторного поля, ни один из векторов которого не равен нулю).

Слушателю необходимо знать содержание предыдущей лекции, в частности, что такое комплексное число, кватернион, векторное и скалярное произведения векторов.

Лекция 5 (425) 14.10.2017

Илья Дмитриевич ШКРЕДОВ,

ведущий научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, профессор кафедры динамических систем мехмата МГУ.

Суммы и произведения

Суммой A + A (соответственно, произведением A · A) множества A с самим собой назовём множество сумм a + b (соответственно, попарных произведений ab), где a и b пробегают множество A. Насколько сильно вырастает количество множества при взятии суммы или произведения? С одной стороны, существуют множества с относительно малой суммой: сумма арифметической прогрессии, состоящей из n элементов (например, из первых n натуральных чисел), состоит из 2n – 1 элементов. С другой стороны, произведение геометрической прогрессии, состоящей из n разных чисел (например, из последовательных степеней двойки) тоже состоит из 2n – 1 элементов. Гипотеза сумм и произведений утверждает: не существует множеств, имеющих одновременно и малую сумму, и малое произведение, точнее, сумма количеств элементов суммы и произведения n-элементного конечного множества не может быть намного меньше, чем n2/2. (Более точная формулировка будет на лекции.)

Гипотеза сумм и произведений до сих пор не доказана, но даже частичный прогресс в данной области уже привёл к интересным продвижениям в арифметике, теории графов, геометрии.

Есть видеозапись:
1. «Сумма множеств»;
2. «Сколько произведений в таблице умножения?»;
3. «Суммы и произведения»;
4. «Неравенство Семериди-Троттера и его применение к суммам-произведениям»;
5. «Теорема Семериди—Троттера для декартова произведения»;
6. «Теорема Шоймоши, теорема Конягина и Шкредова»;
7. «Идея доказательства теоремы Шоймоши»;
8. «Доказательство теоремы Шоймоши для сумм и частных»;
9. «Доказательство теоремы Шоймоши для сумм и произведений».

Лекция 6 (426) 21.10.2017

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и LIRMM (Монпелье, Франция), автор многих брошюр и книг для школьников и студентов: «Геометрия в задачах», «Программирование: теоремы и задачи», «Вероятность: примеры и задачи», «Игры и стратегии с точки зрения математики», «Математическая индукция», «Простые и составные числа», «О «математической строгости» и школьном курсе математики», «Космография».

Непостроимость середины отрезка одной линейкой

На плоскости нарисована окружность. Можно ли одной линейкой построить её центр? Давид Гильберт думал, что нельзя. Доказал он это при помощи центральной (стереографической) проекции, которая переводит окружность в себя, а центр переводит не в центр, а в другую точку. Почему такая центральная проекция существует, понять нетрудно. Но нет ли в рассуждениях Гильберта ошибки?

Другими словами, можно ли при помощи одной только линейки разделить отрезок пополам? Что такое построение одной линейкой? (Или одним циркулем, или циркулем и линейкой?) Как доказать невозможность деления отрезка пополам одной линейкой?

Есть видеозапись:
1. «Простейшие построения циркулем и линейкой»;
2. «Удвоение отрезка одним циркулем»;
3. «Замечательное свойство трапеции»;
4. «Непостроимость середины отрезка одной линейкой (идея доказательства)»;
5. «Критика доказательства непостроимости, или Что такое произвольная точка?»;
6. «Непостроимость середины отрезка одной линейкой (доказательство)»;
7. «Гильберт, две окружности, Акопян и Фёдоров».

Лекция 7 (427) 28.10.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Количество пересечений, или Вероятности и графы

Для любого натурального числа V, отличного от 1 и 2, легко нарисовать на плоскости граф, в котором V вершин и 3V – 6 рёбер.

При помощи формулы Эйлера доказали, что количество пересечений (позволяем в каждой точке пересекаться не более чем двум рёбрам), которые образуются при изображении графа с E рёбрами и V вершинами, не может быть меньше числа E – 3V + 6.

Затем доказали, что если E ≥ 4V, то количество пересечений не меньше величины E3/(64V2). Доказательство использует вероятности, точнее, среднее значение числа пересечений.

Из неравенства для количества пересечений вывели неравенство Семериди—Троттера о количестве инциденций (то есть пар (точка, прямая), в которых точка принадлежит прямой), которое было использовано в лекции И.Д. Шкредова.

Лекция 8 (428) 11.11.2017

Сергей Борисович ГАШКОВ,

автор книг «Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений», «Элементарное введение в эллиптическую криптографию», «Криптографические методы защиты информации», «Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях», «Системы счисления и их применения».

Знакомые и незнакомые

В 1960 году на Московской математической олимпиаде была такая задача. Собрались n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два знакомых не имеют общих знакомых, а каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что каждый из них знаком с одним и тем же числом человек. Она широко известна и несложно решается, но при этом остаётся невыясненным, при каких n существуют такие компании? Очевидно, при n = 4 существуют. А при каких ещё? Может быть их больше нет? Есть!

В 2012 году на той же Московской олимпиаде была предложена похожая задача. Собрались n человек. Каждые два имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что каждый из них знаком с одним и тем же числом человек.

Вот ещё одна похожая задача. Собрались n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два знакомых не имеют общих знакомых, а у каждых двух незнакомых есть ровно один общий знакомый. Докажите, что каждый из них знаком с одним и тем же числом человек.

И в этих задачах вопрос о том, при каких n существуют такие компании, тоже оказался непростым.

Лекция 9 (429) 18.11.2017

Даниил Владимирович МУСАТОВ,

кафедра дискретной математики Московского физико-технического института.

Сюрреальные числа Конвея

В прошлом учебном году была прочитана лекция об играх, в некотором смысле продолжением которой будет эта лекция.

Лекция 10 (430) 25.11.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Формула Эйлера

Докажем формулу Эйлера о количестве вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника и выведем из неё, что

для любого конечного множества точек плоскости, не лежащего на одной прямой, найдётся прямая, проходящая ровно через две точки этого множества;

при любом разрезании выпуклого многоугольника, не являющегося треугольником, на треугольники хотя бы два из них имеют две общие вершины;

для любых двух непересекающихся конечных множеств точек плоскости, объединение которых не лежит на одной прямой, существует хотя бы одна прямая, проходящая хотя бы через две точки одного из множеств и не проходящая ни через одну точку другого;

если граф можно нарисовать на плоскости так, чтобы рёбра пересекались только в случаях, когда они выходят из одной вершины, то его можно распрямить, то есть так непрерывно продеформировать рёбра, непрерывно передвигая при необходимости и вершины, чтобы у полученного в результате графа все рёбра были бы отрезками;

ежа нельзя причесать (то есть не существует непрерывное касательное к двумерной сфере векторное поле, ни один из векторов которого не равен нулю).

Лекция 11 (431) 2.12.2017

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и LIRMM (Монпелье, Франция), автор многих брошюр и книг для школьников и студентов: «Геометрия в задачах», «Программирование: теоремы и задачи», «Вероятность: примеры и задачи», «Игры и стратегии с точки зрения математики», «Математическая индукция», «Простые и составные числа», «О «математической строгости» и школьном курсе математики», «Космография».

Индекс, лемма Шпернера и другие топологические конструкции

Рассказ о топологических понятиях и конструкциях.

Лекция 12 (432) 9.12.2017

Светлана Анатольевна БУРЛАК,

доктор филологических наук, профессор Российской академии наук, ведущий научный сотрудник Института востоковедения РАН, старший научный сотрудник кафедры теоретической и прикладной лингвистики филологического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Самодостаточные лингвистические задачи

Лингвистику не проходят в школе, поэтому многие думают, что занимается она прежде всего теми правилами, которые в школе учат не нарушать. На самом деле главная задача лингвистики куда интереснее — описывать, как устроены самые разные языки. Даже самый неграмотный человек никогда не скажет «большая стол стоит в комнату», если русский язык для него родной. Почему? А, например, в английском языке прилагательные не изменяются, а существительные — только по числам. И таких законов много, для каждого языка — свои.

Лингвистическая задача даёт возможность некоторые из таких законов обнаружить очень быстро — на очень небольшом, специально подобранном материале. Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны — это значит, что для их решения не нужны никакие специальные знания, достаточно лишь уметь чётко провести логическое рассуждение. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется строго доказывать каждое предположение.



наверх!
Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS