МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Популярные лекции по математике
2016-2017 учебный год

Лекция 1 (395) 17.09.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Метод Ньютона

Как извлечь квадратный корень из данного положительного числа a? Можно рассмотреть любое положительное число x и вычислить среднее арифметическое между и частным a/x. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом утверждает, что результат не меньше искомого корня. Затем вновь рассмотрим среднее арифметическое между только что вычисленным числом и частным от деления числа a на него, и так далее. Нетрудно доказать, что построенная последовательность стремится к корню из a, причём стремится быстро.

Обсудили геометрический смысл вышеизложенного метода Ньютона. Оказалось, что для вычисления кубического корня по этому методу надо складывать две трети числа x с одной третью числа a/(x2). Хотя коэффициенты 1/3 и 2/3 появились в результате вполне прозрачных и несложных вычислений, интересно узнать, нельзя ли вместо них взять 1/2: оказывается, сходиться к кубическому корню последовательность будет и в этом случае, но гораздо медленнее.

Метод Ньютона можно применять не только для поиска действительных корней уравнений, но и для решения сравнений по модулю, являющемуся степенью простого числа.

Есть видеозапись.

Лекция 2 (396) 1.10.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Почему не уменьшается сопротивление?

При увеличении сопротивления любого провода электрической цепи постоянного тока (например, при перерезании провода) сопротивление цепи не может уменьшиться. Эта очевидная для любого физика теорема нуждается в математическом доказательстве. Доказательство основано на рассмотрении квадратичной функции многих переменных: энергии, выделяемой при протекании тока по цепи. Прочитать его можно в первом номере журнала «Квант» 1985 года.

О том, как задача о разрезании прямоугольника на квадраты связана с задачей о вычислении сопротивления, рассказано в статье «Разрезания металлического прямоугольника» третьего номера «Кванта» 2011 года. Есть и чуть более подробная её версия.

Есть видеозапись:
1. «Потенциалы, закон Кирхгофа, альтернатива Фредгольма»;
2. «Мощность и точка минимума квадратичной функции»;
3. «Разрезания металлического прямоугольника».

Лекция 3 (397) 8.10.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Латинские квадраты и устойчивые браки

Представьте квадрат со стороной n, в каждой клетке которого задано некоторое множество, состоящее из n элементов. В 1978 году Джефф Диниц спросил, всегда ли можно выбрать в каждом из этих множеств по одному элементу так, чтобы во всех строках и во всех столбцах выбранные элементы были разными? В 1994 году Фред Галвин дал утвердительный ответ. Доказательство удивительно короткое и неожиданное. Оно использует идею устойчивых паросочетаний. Лекция общедоступна, хотя придумать такое доказательство мог только очень талантливый математик.

Вершины полного двудольного графа, в левой доле которого две вершины, а в правой четыре, можно покрасить в два цвета: левую долю в один цвет, а правую в другой. Но если задать в левой доле {a, b} и {1, 2}, а в правой {a, 1}, {a, 2} и {b, 1}, {b, 2}, то правильная окраска невозможна.

Есть видеозапись:
1. «Латинские квадраты и устойчивые браки»;
2. «Гипотеза о хроматических числах ребёрного графа»;
3. «Алгоритм Форда-Фалкерсона»;
4. «Система различных представителей, или теорема Холла о свадьбе»;
5. «Теорема Кёнига».

Лекция 4 (398) 15.10.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Леса с данным числом деревьев и пронумерованными вершинами

Три доказательства формулы Кэли для числа помеченных деревьев

Есть видеозапись:
1. «Нумерованных деревьев с отмеченными на них началом и концом столько же, сколько отображаний множества вершин в себя»;
2. «Леса с пронумерованными вершинами и бином Ньютона»;
3. «Количество лесов с данным числом деревьев и нумерованными вершинами»;
4. «Удаляем или добавляем рёбра по одному»;
5. «Максимальная антицепь решётки подмножеств».

Лекция 5 (399) 22.10.2016

Даниил Владимирович МУСАТОВ,

кафедра дискретной математики Московского физико-технического института.

Справедливый делёж

Всем известно, как по-честному поделить пирог на две части: один делит, другой выбирает. А что делать, если делящих больше двух? При этом у них разные вкусы и, возможно, внутри пирога есть неделимые объекты. Эту задачу мы рассмотрим с трёх сторон: математической, алгоритмической и игровой. На математическом уровне вопрос только в существовании: можно ли найти делёж, удовлетворяющий определённым свойствам? Например, можно ли добиться, чтобы каждый из участников считал, что получил не менее полагающейся ему части пирога? А можно ли сделать, чтобы никто никому не завидовал? На алгоритмическом уровне вопрос заключается в построении протокола, ищущего подходящий делёж. Желательно, чтобы этот протокол работал достаточно быстро. На игровом уровне возникает такой вопрос: что будет, если участники начнут отклоняться от протокола? Может ли участник получить больше, соврав о своих предпочтениях?

Есть видеозапись:
0. «Даниил Владимирович Мусатов»;
1. «Один делит, другой выбирает»;
2. «Зависть при пропорциональном дележе на троих»;
3. «Аксиомы, делёж без зависти пропорциональный»;
4. «Формулировки теорем о дележе без зависти»;
5. «Добавляем людей одного за другим»;
6. «Последний уменьшивший»;
7. «Протокол Селфриджа и Конвея: на троих без зависти»;
8. «Нож»;
9. «Ровно по половине»;
10. «Меч и три ножа».

Лекция 6 (400) 29.10.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Деревья и леса. Числа Рамсея

Многие знают утверждение: «Среди любых шести человек некоторые трое попарно знакомы или некоторые трое попарно не знакомы.» Аналогичные утверждения можно доказывать и в случаях, когда, скажем, трое попарно знакомы или семеро попарно не знакомы, либо пятеро попарно знакомы или четверо попарно не знакомы, и так далее. Разумеется, в общем случае потребуется больше, чем 6 человек. Сколько? Это одна из задач теории Рамсея.

Есть видеозапись:
1. «Пятиугольник с красными сторонами и синими диагоналями»;
2. «Число Рамсея R(3,4) больше числа 8»;
3. «Числа Рамсея»;
4. «Число R(3,3,3) не больше числа 17»;
5. «Оценка сверху чисел Рамсея»;
6. «Применяем формулу Стирлинга»;
7. «Оценка снизу числа Рамсея»;
8. «Теорема Рамсея о гиперграфах».

Лекция 7 (401) 12.11.2016

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук.

Двудольные числа Рамсея

Знание материала предыдущей лекции необходимо для понимания этой. Двудольные числа Рамсея отличаются от обычных тем, что полные графы Kn, Ks и Kt заменены на полные двудольные графы Kn,n, Ks,s и Kt,t.

Есть видеозапись:
9. «Числа Рамсея (повторение)»;
10. «Двудольные числа Рамсея»;
11. «Оценка снизу двудольного числа Рамсея»;
12. «Оценка сверху двудольного числа Рамсея».

Лекция 8 (402) 19.11.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Числа Рамсея и поле из 16 элементов

Доказали, что число Рамсея от 3, 3 и 3 равно 17, от 3 и 5 равно 14, а от 4 и 4 равно 18.

Есть видеозапись:
13. «Неравенство Бернулли»;
14. «Выпуклые функции, или Неравенство Йенсена»;
15. «Число Рамсея от 3 и 4 равно 9 (напоминание)»;
16. «R(3,5) = 14 и R(4,4) = 18»;
17. «Напоминание: число R(3,3,3) не больше числа 17. Поле из 4 элементов»;
18. «Поле из 16 элементов. Малая теорема Ферма. Пятые степени. Раскраска в три цвета».

Лекция 9 (403) 26.11.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Огибающая

Нашли уравнение параболы, являющейся огибающей отрезка непостоянной длины, один конец которого с постоянной скоростью движется по вертикали, а второй с такой же скоростью — по горизонтали.

Завершили лекцию 15 октября: исправили ошибку в доказательстве теоремы Визинга, на которой тогда запнулись.

Есть видеозапись:
«Огибающая при равномерном движении концов отрезка по вертикали и горизонтали».

Лекция 10 (404) 3.12.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Уравнения второй и третьей степени. Косинус тройного угла

Вывели формулы для решения уравнений второй и третьей степени. Выяснили, какие уравнения третьей степени имеют одно, какие два, а какие три решения. Рассмотрели формулу косинуса тройного угла.

Есть видеозапись:
1. «Квадратное уравнение»;
2. «Уравнение третьей степени. Когда корней три, когда два, а когда один?»;
3. «Уравнение с тремя решениями и косинус тройного угла».

Лекция 11 (405) 10.12.2016

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Метод Феррари решения уравнения четвёртой степени. Дискриминант и симметрические функции

Вывели формулу для решения уравнений четвёртой степени. Узнали, что такое чётные перестановки, дискриминант, симметрические многочлены, алгебраические числа.

Есть видеозапись:
4. «Метод Феррари решения уравнения четвёртой степени»;
5. «Симметрические функции, чётные перестановки, дискриминант»;
6. «Выражаем дискриминант через элементарные симметрические функции»;
7. «Кубические корни из 1, алгебраические числа, поля, резольвенты Лагранжа»;
8. «Основная теорема о симметрических многочленах».

Лекция 12 (406) 17.12.2016

Александр Ханиевич ШЕНЬ,

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и LIRMM (Монпелье, Франция), автор многих брошюр и книг для школьников и студентов: «Геометрия в задачах», «Программирование: теоремы и задачи», «Вероятность: примеры и задачи», «Игры и стратегии с точки зрения математики», «Математическая индукция», «Простые и составные числа», «О «математической строгости» и школьном курсе математики», «Космография».

Случайные числа и алгоритмы

Зачем нужен генератор случайных чисел?

Есть видеозапись:
1. «Для чего нужен генератор случайных чисел?»;
2. «Социологические опросы»;
3. «Метод Монте-Карло»;
4. «Поиск числа в массиве»;
5. «Методы сортировки»;
6. «Хранение паролей»;
7. «Случайные и псевдослучайные числа»;
8. «Односторонние функции».

Лекция 13 (407) 17.12.2016

Светлана Анатольевна БУРЛАК,

доктор филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН и филологического факультета МГУ, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.

Самодостаточные лингвистические задачи

Лингвистику не проходят в школе, поэтому многие думают, что занимается она прежде всего теми правилами, которые в школе учат не нарушать. На самом деле главная задача лингвистики куда интереснее — описывать, как устроены самые разные языки. Даже самый неграмотный человек никогда не скажет «большая стол стоит в комнату», если русский язык для него родной. Почему? А, например, в английском языке прилагательные не изменяются, а существительные — только по числам. И таких законов много, для каждого языка — свои.

Лингвистическая задача даёт возможность некоторые из таких законов обнаружить очень быстро — на очень небольшом, специально подобранном материале. Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны — это значит, что для их решения не нужны никакие специальные знания, достаточно лишь уметь чётко провести логическое рассуждение. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется строго доказывать каждое предположение.

Есть видеозапись:
0. «Лингвистика и традиционная олимпиада»;
1. «Арабский язык»;
2. «Латинские уменьшительные»;
3. «Саидский и бохейрский диалекты коптского языка»;
4. «Числительные бариаи»;
5. «Казахские предки и потомки»;
6. «Ударения и суффикс -ищ»;
7. «Бессермянское наречие удмуртского языка».

Лекция 14 (406) 11.02.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Векторные пространства. Интерполяционные формулы Ньютона, Лагранжа. Задача о манной каше

Разобрали несколько примеров векторных пространств.

Есть видеозапись:
9. «Векторные пространства. Формула Ньютона»;
10. «Интерполяционная формула Лагранжа»;
11. «Манная каша и корни из единицы»;
12. «Постановка задачи о размерности векторного пространства».

Лекция 15 (409) 18.02.2017

Сергей Владимирович ДВОРЯНИНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент, автор статей журналов «Квант», «Потенциал», «Фрактал», «Математическое образование», «Математика в школе», «Математика для школьников», «Физика для школьников», «Математика», «Квантик».

Устойчивость

Явление устойчивости и неустойчивости было показано на физических моделях вместе с их математическом описанием.

Лекция 16 (410) 25.02.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Размерность векторного пространства. Алгебраические числа

Доказали, что размерность векторного пространства не зависит от его базиса. Узнали, что такое факторкольцо, идеал, алгебраическое число. Доказали счётность множества алгебраических чисел и несчётность множества вещественных чисел. Доказали, что все идеалы кольца целых чисел и все идеалы кольца многочленов одной переменной с коэффициентами из поля главные.

Советую курс Высшей школы экономики о теории Галуа.

Есть видеозапись:
13. «Размерность векторного пространства»;
14. «Алгебраическое число. Счётность множества алгебраических чисел. Несчётность континуума: диагональный метод Кантора»;
15. «Расширения полей, факторкольца и идеалы, главные идеалы и деление с остатком»;
16. «Идея другого доказательства обратимости»;
17. «Нормальные расширения, автоморфизмы».

Лекция 17 (411) 4.03.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Группы

Продолжили знакомство с понятиями алгебрами, необходимыми для изучения теории Галуа разрешимости алгебраических уравнений.

Есть видеозапись:
18. «Что такое группа?»;

Лекция 18 (412) 11.03.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Группы перестановок. Неразрешимость группы перестановок 5 элементов

Нормальные подгруппы. Внутренний автоморфизм. Внешний автоморфизм группы перестановок 6 элементов и уникальность этого явления. Разрешимые и неразрешимые групппы.

Лекция 19 (413) 18.03.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Группы и поля

Продолжим знакомство с понятиями алгебрами, необходимыми для изучения теории Галуа разрешимости алгебраических уравнений.

Лекция 20 (414) 25.03.2017

Александр Васильевич СПИВАК,

автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2».

Нормальные расширения и их группы автоморфизмов

Продолжим знакомство с понятиями алгебрами, необходимыми для изучения теории Галуа разрешимости алгебраических уравнений.

Лекция 21 (415) 1.04.2017

Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,

доктор физико-математических наук.

Графы расстояний и числа Рамсея

Для понимания лекции необходимо посмотреть предыдущие лекции о числах Рамсея.

Лекция 22 (416) 8.04.2017

Михаил Юрьевич ПОПЕЛЕНСКИЙ,

старший научный сотрудник лаборатории управления и навигации механико-математического факультета, заместитель декана по магистерскому и дополнительному образованию.

Теория оценивания и её приложения

Если мы возьмём десяток разных рулеток и линеек и измерим, например, ширину рабочего стола, мы обнаружим, что все измерения немного отличаются — на 2—3 миллиметра. Так какова же ширина стола в действительности? Ответить поможет метод наименьших квадратов — один из наиболее распространённых методов в теории оценивания.

Впрочем, ширина стола величина почти постоянная. А как быть с определением значений динамически изменяющихся величин? Слушатели познакомятся с основами теории оценивания, с методами, которые в ней применяют, а также узнают про применение теории оценивания в прикладной математике и механике.

Лекция 23 (417) 15.04.2017

Даниил Владимирович МУСАТОВ,

кафедра дискретной математики Московского физико-технического института.

Сюрреальные числа Конвея

Красивая математическая конструкция.

Лекция 24 (418) 22.04.2017

Михаил Юрьевич ПОПЕЛЕНСКИЙ,

старший научный сотрудник лаборатории управления и навигации механико-математического факультета, заместитель декана по магистерскому и дополнительному образованию.

Гравиметрия: измерение силы тяжести

Гравиметрия (от латинского gravis — «тяжёлый» и греческого «измеряю») — геофизический и геодезический метод, заключающийся в измерении поля силы тяжести. Мы будем изучать поле силы тяжести Земли. При решении первых задач по физике в школе иногда берут значение ускорения свободного падения, вызванного силой тяжести Земли, равным 10 м/с2, а потом уточняют, что оно равно 9,81 м/с2.

А какова на самом деле сила тяжести, отчего она зависит, как её измерить и зачем? На эти вопросы слушатели получат ответы на лекции. Также слушатели узнают, чем отличаются наземная, морская и авиационная гравиметрии.



наверх!
Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS