МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 19 (12 марта 2016 года). Разделяй и властвуй-III

1.

а)

На доске написаны все натуральные числа от 1 до 25 по разу. Петя хочет прибавить или отнять от каждого числа 1 так, чтобы снова получились все числа от 1 до 25. Сможет ли он это сделать?

б)

Тот же вопрос, но теперь можно прибавить или отнять не только 1, но и 5.

в)

Чем похож и чем отличается пункт б) от задачи 1.б прошлого листка?

2.

а)

Имеется набор карточек, на каждой написаны два числа от 1 до 8 так, что для каждой пары чисел есть одна карточка (карточки типа (2,3) и (3,2) считаются разными). Можно ли разбить карточки на пары так, что в каждой паре карточки отличаются только на единицу в одном из чисел? (Например, карточки (3,6) и (3,7) образуют пару, а (2,3) и (3,1) — нет.)

б)

Тот же вопрос, но карточки (8,8) нет.

в)

Тот же вопрос, но карточек (1,1) и (8,8) нет.

г)

Тот же вопрос, но карточки (8,8) нет, а объединять их надо не в пары, а в тройки типа (a,b), (a+1,b), (a+2,b) или (a,b), (a,b+1), (a,b+2).

3.

а)

Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями — одинаковы. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел его сосед Лёша?

б)

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел кузнечик Лёша?

4.

а)

Разрежьте равнобедренный прямоугольный треугольник на несколько прямоугольных треугольников так, чтобы среди них не было одинаковых.

б)

Сделайте это так, чтобы среди частей не было равнобедренных треугольников.

5.

В строящемся доме в каждом подъезде одинаковое число квартир. В первом подъезде расположены ¹/₅ всех проданных квартир и ¹/₇ непроданных. Сколько подъездов у дома?

6.

а)

На доске написаны числа 11 и 7. Петя повторяет следующую операцию до тех пор, пока одна из чисел не станет 0: сначала берёт себе количество конфет, равное одному из чисел на доске, а потом уменьшает другое на 1. какое наибольшее количество конфет он может получить такими действиями?

б)

Тот же вопрос, но чисел на доске три: 11, 7 и 13, количество взятых конфет равно произведению любых двух чисел на доске, а 1 вычитают из третьего.