МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 5 (17 октября 2015 года)

1.

а)

Из города А в город Б есть 5 дорог, а из Б в город В — 9 дорог. Сколькими способами можно проехать по маршруту А-Б-В?

б)

Из города А в город Б есть 5 дорог, из Б в город В — 9 дорог, а из В в Г — 5 дорог. Сколькими способами можно проехать по маршруту А-Б-В-Г ?

в)

В гардеробе есть 5 шляп, 9 курток и 5 зонтиков. Сколькими способами злоумышленник может выбрать себе полный комплект?

Подсказка

Подсказка. Если не получается, попробуйте решить задачу только для шляп и курток.

г)

Злоумышленник пытается взломать кодовый замок сейфа. Из надёжных источников ему стало известно, что это чётное трёхзначное число, вторая цифра которого нечётна. Сколько попыток ему потребуется, чтобы взломать сейф?

2.

Сколько разных слов (не только осмысленных) можно получить, переставляя буквы в словах:

а)

РОК;

б)

КУРА;

в)

ТУРОК;

г)

КУРОК;

Подсказка

Подсказка. Представьте, что вы выписали все слова из предыдущего пункта, а потом заменили все Т на К.

д)

ПОГРЕБОК;

е)

ПОРОШОК;

ж)

КОЛОБОК?

3.

В квадрате 20×20 расставлено 99 плюсиков. Докажите, что можно вырезать квадрат 2×2, в котором нет плюсиков.

4.

а)

Какое наибольшее число ладей можно поставить на доску 6×8 так, чтобы они не били друг друга?

б)

Тот же вопрос про королей.

в)

Тот же вопрос про слонов.

5.

В сериале "Тайна Санта-Барбары" участвует 20 героев. Каждую серию происходит одно из событий: некоторый герой узнает Тайну, некоторый герой узнает, что кто-то знает Тайну, некоторый герой узнает, что кто-то не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал?

6.

а)

Можно ли расставить числа от 1 до 7 по кругу так, чтобы любое из них нацело делилось на разность своих соседей?

б)

Тот же вопрос про числа от 1 до 9.