МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 12 (5 декабря 2015 года)

1.

Для каждого предложенного набора гирек уравновесьте некоторыми из них груз массой 113 грамм (класть гири можно только на одну чашу весов). После этого в каждом пункте выпишите, сколько гирь каждого типа использовалось (например, если использовалась одна гиря первого типа, ни одной гири второго и две гири третьего, то напишите 1 0 2).

а)

Типы гирь: 100 г, 10 г и 1 г. Каждого типа по 9 гирь.

б)

Типы гирь: 25 г, 5 г и 1 г. Каждого типа по 4 гири.

в)

Типы гирь: 81 г, 27 г, 9 г, 3 г и 1 г. Каждого типа по 2 гири.

г)

Типы гирь: 64 г, 32 г, 16 г, 8 г, 4 г, 2 г и 1 г. Каждого типа по 1 гире.

Если вы всё сделали правильно, то то, что у вас получилось в предыдущей задаче, называется записями числа 113 в разных системах счисления (а — наша обычная десятичная; б, в, г — пятеричная, троичная и двоичная).

2.

а)

Напишите числа от 1 до 19 в троичной системе счисления.

б)

Почему любое натуральное число можно записать в троичной системе счисления?

в*)

Почему никакое число нельзя записать двумя способами в троичной системе счисления?

3.

В начальной школе вы изучали таблицу умножения в десятичной системе счисления. Составьте таблицу умножения для систем счисления с основаниями 2, 3 и 5. (В таблице умножения должны быть записаны результаты всех произведений однозначных в этой системе чисел.)

4.

а)

С числом разрешается производить две операции: «увеличить в два раза» и «увеличить на 1». Как за 9 операций из числа 0 получить число 100?

б)

Запишите число 100 в двоичной системе и сравните с последовательностью операций, которые вы проделали.

5.

На прямой AB отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

6.

У Торина было с собой простое количество золотых монет (простые — числа, которые делятся нацело только на себя и на 1) и Бесконечный Мешок Золота. Вначале он достал из мешка горсть монет и добавил их к своим. К его облегчению, снова получилось простое число. Затем он достал ещё одну такую же горсть, и снова получилось простое число. Может ли такая удача продолжаться бесконечно?