МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 4 (17 октября 2015 года). Проценты

1.

Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1%, другое на 5%. Могла ли их сумма увеличиться на 3%?

Решение

Решение. Пусть первое число равно 100x, а второе 100y: 101x + 105y = 103(x + y), откуда следует, что y=x. При x=1 получим числа 100 и 100, которые будут удовлетворять условию задачи. (Собственно, подходят любые 2 равных положительных числа.)

2.

Из полного сосуда с растворителем вместимостью 20 л, отлили часть вещества, а потом дополнили сосуд водой. В результате в сосуде оказался 60%-ный раствор. Сколько растворителя вылили из сосуда?

Ответ

Ответ. 8 л.

3.

Цены на плюшевых мишек в октябре выросли на 50%, а перед Новым годом на них объявили 50% скидку. Когда мишка стоил дороже — 1 сентября или 31 декабря?

Решение

Решение. Пусть 1 сентября мишка стоил x, в октябре стоимость мишки увеличилась на 50%, и стала x + 0,5х = 1,5x. Перед Новым годом цена на мишек уменьшилась на 50% и стала 1,5x − 0,5 · 1,5x = 1,5x − 0,75x = 0,75x, что составляет 75% от цены сентября, т. е. 1 сентября мишка стоил дороже.

4.

В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько (в процентах) девочек в секции?

Решение

Решение. Пусть мальчиков — x, тогда девочек — 0,6x, а всего детей в секции x + 0,6x = 1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6x составляет число 0,6x : 0,6x⁄1,6x · 100% = 37,5%.

5.

Предприятие получило задание за два года снизить на 51% объем выпускаемой продукции. Каждый год требуют снижать на одно и то же число процентов. На сколько?

Решение

Решение. На 30%, т. к. через два года объем продукции должен составить 0,49 от первоначального. Значит, если каждый год выпускать 0,7 от предыдущего, получим то, что нужно.

6.

Кирилл, Ваня и Катя решали уравнения с параметром. Кирилл решил на 10% больше уравнений, чем Ваня, а Катя решила на 20% больше, чем Кирилл. Во сколько раз Катя решила больше уравнений, чем Ваня?

Решение

Решение. Пусть Ваня решил x уравнений, тогда Кирилл решил 1,1x уравнений и Катя решила 1,2 · 1,1x = 1,32x уравнений. Таким образом, Катя решила в 1,32 больше уравнений, чем Ваня.

7.

Хомяк сидит на диете. Каждый день он съедает 20% имеющихся к этому дню защёчных запасов. Изначально за обеими щеками у него спрятано поровну запасов. Через сколько дней все запасы поместятся за одну щёку?

Решение

Решение. Пусть изначально у хомяка всего х запасов, за одну щеку помещается 0,5x запасов. Выясним, когда количество защёчных запасов хомяка окажется меньше 0,5x (или равно 0,5x). После первого дня у хомяка останется 0,8x запасов, что больше 0,5x. После второго 0,8 · 0,8x = 0,64x запасов, что тоже больше 0,5x. После третьего дня, количество запасов у хомяка станет 0,8 · 0,64x = 0,512x, т.е. по-прежнему больше 0,5x. После четвертого дня количество запасов станет 0,8 · 0,512x = 0,4096x < 0,5x, значит, после четвертого дня хомяк сможет поместить остатки своих защечных запасов за одну щеку.

8.

Семиклассники решили пойти в поход. Первоначально девочек было 25% от числа всех участников. Но одна девочка не пришла, а вместо неё пришёл один мальчик, и тогда уже число девочек составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в походе?

Решение

Решение. Пусть изначально девочек было x человек, значит, всего в поход собиралось 4x человек. Но на самом деле в поход пошла x − 1 девочка, а всего было 5·(x − 1) человек. А т. к. общее количество участников похода не изменилось, значит, 4x = 5·(x − 1). Отсюда x = 5.
В походе же участвовало x − 1 = 4 девочки, а всего участников было 5·(x − 1) = 20 человек. Следовательно, мальчиков было 20 − 4 = 16 человек.

9.

Некая фирма решила вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% составляют сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить фирма?

Решение

Решение. Другие деревья, например, ели и березки, составляют 1% всех деревьев, а после рубки сосен будут составлять 2%, что означает вырубку половины всего леса!

10.

Торговец продал книгу со скидкой 5% от назначенной цены и получил 14% прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец?

Решение

Решение. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., следовательно он продал её за (1 − 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100% + 14% = 114% цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95a : 1,14 = ⁵/₆ a р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах): (a : ⁵/₆ a)·100% = 120%. Торговец планировал получить 120% − 100% = 20% дохода.

Дополнительные задачи

11.

За первый год население некоторой деревни возросло на n человек, а за второй — на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй — на n%. Сколько жителей стало в деревне?

Решение

Решение. Пусть изначально жителей в деревне было x, тогда за год число жителей в деревне стало x + n, а после второго x + n + 300 человек. За первый год число жителей увеличилось на 300%, т. е. n = 3x. Также известно, что за второй год число жителей увеличилось на n%, т. е. на (x + n) · n ⁄ 100. Поскольку население увеличилось на 300 человек, то (x + n) · n ⁄ 100 = 300; зная, что n = 3x, получим: 10000 = 4x², значит x = 50. После второго года число жителей в деревне стало x + n + 300 = 4x + 300 = 200 + 300 = 500.

12.

В трёх классах выполнялась контрольная работа. Оценки «5», «4», «3», «2» получили соответственно 28%, 35%, 25%, 12% учащихся. Сколько учащихся писали контрольную работу?

Решение

Решение. Пусть работу писали x учеников. Тогда пятерки получили ⁷/₂₅ · x ребят, четверки — ⁷/₂₀ · x, тройки — ¹/₄ · x, двойки — ³/₂₅ · x. Чтобы все эти числа были целыми, необходимо, чтобы число x делилось на 25, 20 и 4. Это условие выполняется, когда x делится на 100, т. е. x = 100k, где k — натуральное число. А в трёх классах редко больше 100 учеников.