МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 2. Логические задачи. Множества (3 октября 2015 года)

1.

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Ответ Решение

Ответ. 19 рыжиков и 11 груздей.

Решение. Если бы в корзине нашлись 12 груздей, то ни один из них не был бы рыжиком. Значит, количество груздей не более 11. Если бы груздей было меньше 11, то их было бы не больше 10. Тогда можно было бы найти 20 не груздей. Значит, груздей ровно 11, а рыжиков — 19.

2.

В первой коробке лежат 2 белых шара, во второй — 2 чёрных, в третьей — 1 белый и 1 чёрный. На каждой коробке висела табличка, указывающая её состав. Федя перевесил все таблички так, что каждая указывает состав коробки неверно. Какое наименьшее число шаров нужно извлечь, не заглядывая в коробки, чтобы узнать, какого цвета шары в каждой коробке?

Ответ Решение

Ответ. Один шар.

Решение. Достаточно извлечь один шар из коробки с табличкой «∘∙» Если он белый, то в этой коробке белые шары, а чёрные в коробке «∘∘». Если он чёрный, то в этой коробке чёрные шары, а белые — в коробке «∙∙».

3.

Мартышка любит кокосовые орехи и хочет выяснить, с какого самого нижнего этажа 10-этажного дома нужно бросить орех, чтобы он разбился. Для эксперимента у неё есть 2 ореха и 4 попытки. Сможет ли она это сделать?

Ответ Решение

Ответ. Сможет.

Решение. Первое испытание — с четвёртого этажа. Если орех разбился, то последовательно с первого, затем со второго и третьего этажей (если понадобится). Если после первого испытания орех не разбился, то второе испытание — с седьмого этажа. Если орех разбился, то далее с пятого и шестого этажей (если понадобится). Если после второго испытания орех не разбился, то третье испытание — с девятого и далее либо с восьмого, либо с десятого.

4.

Три пушки начинают стрелять одновременно. Интервалы между выстрелами соответственно составляют ⁴/₃ секунды, ⁵/₃ секунды и 2 секунды. Совпавшие во времени выстрелы воспринимаются за один. Сколько выстрелов будет услышано за 1 минуту?

Ответ Решение

Ответ. 85.

Решение. Первая пушка за минуту сделает 46 выстрелов, 2-я и 3-я — соответственно 37 и 31. Выстрелы первой и второй пушки совпадут через ²⁰/₃ секунды, а всего они совпадут 10 раз, выстрелы первой и третьей — 16 раз, второй и третьей — 7 раз, а всех трёх — 4 раза. По формуле включений-исключений общее число выстрелов равно 46 + 37 + 31 − 10 − 16 − 7 + 4 = 85.

5.

Встретились как-то два знакомых математика и разговорились.

— У меня трое сыновей.
— А сколько им лет?
— Произведение их возрастов равно 36.
— Этой информации недостаточно.
— Сумма их возрастов равна номеру твоего дома.
— Этой информации мне тоже недостаточно.
— Мой старший сын рыжий.

Второй математик сразу всё понял. Сколько лет сыновьям первого математика?

Ответ Решение

Ответ. 2, 2, 9 лет.

Решение. Число 36 является произведением следующих троек чисел: 1, 1, 36; 1, 2, 18; 1, 3, 12; 1, 4, 9; 1, 6, 6; 2, 2, 9; 2, 3, 6; 3, 4, 3. Второй математик, услышав, что сумма возрастов всех троих детей равна номеру его дома, мог угадать нужную тройку чисел, если только номер его дома не 13, так как из указанных троек чисел две дают в сумме одно и то же число 13: 1, 6, 6 и 2, 2, 9. Значит, имеет место один из этих двух случаев. Но в первом случае старших сыновей двое. Следовательно, возраст детей: 2, 2 и 9 лет.

6.

На острове ²/₃ всех мужчин женаты и ³/₅ всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

Ответ Решение

Ответ. ¹²/₁₉.

Решение. Пусть число супружеских пар на острове равно N. По условию на острове ⁵/₃N женщин и ³/₂N мужчин. Всего на острове ⁵/₃N + ³/₂N = ¹⁹/₆N жителей, а в браке состоит 2N. Искомая доля равна 2 : ¹⁹/₆ = ¹²/₁₉.

7.

Из 7 серебряных и 2 медных монет одна — фальшивая. Найти фальшивую монету за 2 взвешивания.

Решение

Решение. Положим на каждую чашку две серебряные и одну медную монету. Возможны два случая:

1. весы уравновесились, тогда фальшивая серебряная монета среди трех оставшихся находится легко с помощью взвешивания двух монет;
2. если весы не уравновесились (одна чашка пошла вверх), значит, фальшивая монета среди трех оставшихся монет.

Положим две оставшиеся серебряные монеты по разным чашкам и взвешиваем. Если они уравновесились, значит, фальшивая — медная, которая была на чашке, которая пошла вверх при первом взвешивании, если нет, то фальшивая — серебряная монета на чашке, пошедшей вверх при втором взвешивании.

8.

Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух — Говорящие Коты; все, кроме двух — Мудрые Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги?

Ответ Решение

Ответ. Трое.

Решение. Из условия задачи следует, что Мудрых Сов и Усатых Тараканов — двое, а Говорящих Котов и Усатых Тараканов — тоже двое. Это выполняется в двух случаях: либо Тараканов — 2, Котов и Сов — 0, либо и Котов, и Сов, и Тараканов — по одному. Первый случай не годится, так как в условии сказано, что и Совы, и Коты живут в избушке. Значит, у Бабы Яги поселились Говорящий Кот, Мудрая Сова и Усатый Таракан — всего трое.