МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 8 (14 ноября 2015 года). Математическая игра «Мясорубка»

Правила игры

1. Оптимальное количество команд — 6. (Можно играть и большим числом команд, но тогда нужен генератор случайных чисел для определения координат команд.)
2. На доске рисуется поле 6×6. Далее броском двух игральных костей определяются координаты каждой команды, и в соответствующей клетке пишется номер команды.
3. Отдельно записываются номера задач и рядом с каждой — её стоимость, начальная стоимость — 3 хода.
4. Сдать каждую задачу команда может только один раз! (Проверяющий сразу зачёркивает номер этой задачи в листке команды.)
5. Если задача решена верно, команда получает назначенное за задачу количество ходов на игровом поле (все нужно использовать за один раз).
   Если ответ неверный — стоимость задачи увеличивается на 1 ход.
6. Цель игры: «съесть» как можно больше команд.
7. За один раз команда может сдать несколько задач, тогда количество ходов за правильно решенные задачи суммируется.
8. Задачу стоимостью 0 ходов сдавать нельзя.
9. Если команду съели, то её новое положение определяется броском костей. При ходе можно приостанавливаться после съедения команды и ждать, пока команда вновь появится на доске, а затем продолжить текущий ход.
10. Все ходы записываются в таблицу: номер команды — кого «съели» — какую задачу решили.
11. В конце игры подсчитываются результаты, и победителями объявляются две команды: «съевшая» больше всех команд и решившая больше всех задач. Отдельно стоит отметить команду, которую больше всех раз «съели».

1.

Заполните пустые клетки квадрата буквами Т, У, Ш, И, Л так, чтобы в каждой строчке, каждом столбце и на каждой из диагоналей все буквы встречались по одному разу.

	Ш	У	Т
Ш	У	Т	И	Л

Ответ

Ответ.

И	Л	Ш	У	Т
У	Т	И	Л	Ш
Л	Ш	У	Т	И
Т	И	Л	Ш	У
Ш	У	Т	И	Л

2.

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи четырнадцатого замечательного числа?

Ответ

Ответ. 2014.

3.

Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был выслан автомобиль «Москвич». Самолёт с почтой приземлился раньше установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое отделение на попутной грузовой машине. Через 30 минут езды грузовая машина встретила на дороге «Москвич», который принял почту и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение «Москвич» прибыл на 20 минут раньше, чем обычно. На сколько минут раньше установленного срока приземлился самолёт?

Ответ

Ответ. 40 мин.

4.

Какое наибольшее суммарное количество белых и чёрных шашек можно расставить в клетках доски 8×8 так, чтобы выполнялось следующее условие: в каждой горизонтали и в каждой вертикали белых шашек должно быть в два раза больше, чем чёрных?

Ответ

Ответ. 48.

5.

Дан круг и отмечена точка внутри него, но не в центре. На какое минимальное число частей можно разрезать этот круг так, чтобы из получившихся частей складывался круг, в котором отмеченная точка будет центром?

Ответ

Ответ. 2.

6.

Сколько существует четырехзначных чисел, у которых сумма цифр равна 4, а произведение цифр равно нулю?

Ответ

Ответ. 19.

7.

В чайный магазин привезли три вида чашек, три вида блюдец и три вида ложек. Один вид чашек, один вид блюдец и один вид ложек — с позолотой. Сколько существует способов купить набор из чашки, блюдца и ложки так, чтобы хотя бы один из этих предметов был бы с позолотой?

Ответ

Ответ. 19.

8.

Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

Ответ

Ответ. 11, 29, 21 или 19 лье.

9.

Мимо наблюдателя поезд проходит за 10 секунд, а мимо моста длиной 400 метров — за 30 секунд. Считается, что поезд проходит мимо моста начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и кончая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите скорость поезда.

Ответ

Ответ. 72 м/с.

10.

В клетчатом квадрате 4×4 отмечены все 25 узлов сетки. Сколько существует различных прямых, каждая из которых проходит хотя бы через три отмеченные точки?

Ответ

Ответ. 32.

11.

Сколько решений имеет ребус-неравенство: Р > Е > П > А (разные буквы — разные цифры)?

Ответ

Ответ. 210.

12.

Найдите все решения ребуса: ААА : Б = ВГ (одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры).

Ответ

Ответ. 222 : 3 = 74; 222 : 6 = 37; 666 : 9 = 74.

13.

Натуральное число назовём хитрым, если его десятичную запись можно разбить на два целых числа, отношение которых равно 2003 (в записи чисел использованы все цифры, нулей в начале числа быть не может). Сколько хитрых чисел в первом миллионе?

Ответ

Ответ. 18 хитрых чисел.

14.

Найдите сумму цифр записанного в десятичной записи числа \(\underbrace{222\dots2}_{2014}\cdot5^2\).

Ответ

Ответ. 10070

15.

Петя закрасил в клетчатом квадрате 4×4 одну клетку. Сколько ещё клеток может закрасить в этом квадрате Вася так, чтобы у каждой закрашенной клетки была ровно одна соседняя (по стороне) закрашенная клетка?

Ответ

Ответ. 1, 3, 5 или 7 клеток.

16.

В кассе есть монеты по 50, 10 и 5 коп. Сколькими разными способами можно выдать клиенту сумму в 1 рубль?

Ответ

Ответ. 18 способов.

17.

Сколько единиц в десятичной записи содержит число, равное \(9+99+999+\ldots+\underbrace{99\ldots9}_{2015}\)?

Ответ

Ответ. 2011.

18.

Сколько в ХХI веке годов, которые представляются в виде суммы четырех различных натуральных степеней двойки?

Ответ

Ответ. 9 годов.

19.

Какой остаток при делении на 30 имеет число 13¹³?

Ответ

Ответ. 13.

20.

Даны 10 чисел. Какое наибольшее количество попарных сумм этих чисел может быть нечётными числами?

Ответ

Ответ. 45 сумм.