МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 21 (9 апреля 2016 года). Логические задачи

1.

Перед судом стоят три человека, из которых каждый может быть либо аборигеном, либо пришельцем. Судья знает, что аборигены всегда отвечают на вопросы правдиво, а пришельцы всегда лгут. Однако судья не знает, кто из них абориген, а кто — пришелец. Он сначала спросил первого, но не расслышал его ответа. Поэтому он спрашивает сначала второго, а потом третьего о том, что ответил первый. Второй говорит, что первый назвался аборигеном, третий — что первый назвался пришельцем. Кем были второй и третий подсудимые?

2.

Странствующий логик дважды задал абсолютно честному человеку один и тот же вопрос и получил в первый раз ответ «нет», а во второй — «да». Какой вопрос он мог задать?

3.

Когда три подруги — Надя, Валя и Маша — вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трёх цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

4.

В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?

5.

На острове Контрастов живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?

6.

После спектакля «Ревизор» Бобчинский и Добчинский начали препираться на сцене по поводу того, кто первый сказал «Э!».

Бобчинский:	Это Вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!».
	Вы сами раньше так говорили.
Добчинский:	Нет, Пётр Иванович, я так не говорил.
	Это Вы сёмгу первый заказали.
	Вы и сказали «Э!».
	А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский:	Что я сёмгу первый заказал, это верно.
	И верно, что у Вас зуб со свистом.
	Но всё-таки это Вы первый сказали «Э!».

Выясните, кто первый сказал «Э!», если известно, что из 9 произнесённых фраз нечётное число верных.

Дополнительные задачи

7.

На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить а) вверх орлом; б) вверх решкой?

8.

В школе прошёл забег с участием 5 спортсменов, и все заняли разные места. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, естественно, назвал одно число от 1 до 5. Сумма их ответов оказалась равна 22. Какое наименьшее число школьников приукрасили свои достижения?

9.

За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Двое из них заявили: «Оба моих соседа — лжецы», а остальные восемь заявили: «Оба моих соседа — рыцари». Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 человек? (Перечислите все возможные варианты и докажите, что других нет.)