МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 7 (7 ноября 2015 года). Раскраска

1.

а)

Можете ли покрасить шестиугольные соты (на рисунке) в три цвета так, чтобы любые две соты с общей границей были покрашены в разные цвета?

б)

А хватит ли двух цветов?

2.

Два друга Петя и Вася поспорили:
— Я могу любую карту так раскрасить в три цвета, чтобы любые государства с общей границей были покрашены в разные цвета, — заявил Петя.
— Я могу нарисовать карту, которую ты так раскрасить не сможешь, — ответил Вася.
Кто из друзей прав?

3.

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

4.

Из шахматной доски вырезали две угловые клетки на диагонали. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть доминошками из двух клеток?

5.

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая её по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но а) рубашкой вверх; б) рубашкой вниз и вверх ногами?

6.

Какое наибольшее число полосок 4×1 поместится (без наложений) в квадрате 10×10?

Дополнительные задачи

7.

Можно ли покрыть доску 6×6 полосками из трёх клеток и одним уголком из трёх клеток?

8.

Двое играли на доске 8×8 в морской бой. Первый расставил (в нарушение обыкновенных правил игры) 21 трёхтрубник, второй же совершил всего один выстрел. И промахнулся. Куда он стрелял?

9.

Кусок сыра имеет форму кубика 3×3×3, из которого вырезан центральный кубик. Мышь начинает грызть этот кусок сыра. Сначала она съедает некоторый кубик 1×1×1. После того, как мышь съедает очередной кубик 1×1×1, она приступает к съедению одного из соседних (по грани) кубиков с только что съеденным. Сможет ли мышь съесть весь кусок сыра?