МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6 (31 октября 2015 года)

1.

Сколькими способами можно прочитать слово «СЛОВО», двигаясь вправо или вниз?

С	Л	О	В	О
Л	О	В	О
О	В	О
В	О
О

2.

На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

3.

В старой усадьбе дом обсажен по кругу деревьями — елями, соснами и берёзами — всего деревьев 96. Они обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного, одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного, тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?

4.

У Пети есть несколько монет достоинством 1, 2, 3, ... рублей — каждой по одной. Петя может составить из них 10 различных пирамидок высотой в три монетки (на большую монетку он кладёт меньшую). Может ли он купить себе пирожок ценой 15 рублей?

5.

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

6.

Докажите, что в произвольном выпуклом восьмиугольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Дополнительные задачи

7.

В забеге от Воробьёвых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем Саша, и последней Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена — 6 раз, Саша — 4 раза, причём все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время?

8.

Десять друзей послали друг другу праздничные открытки, причём каждый послал пять открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

9.

Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 2015 прыжка оказаться на прежних местах?